-0,000 282 005 880 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 880 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 880 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 880 8| = 0,000 282 005 880 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 880 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 880 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 761 6;
  • 2) 0,000 564 011 761 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 523 2;
  • 3) 0,001 128 023 523 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 046 4;
  • 4) 0,002 256 047 046 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 092 8;
  • 5) 0,004 512 094 092 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 185 6;
  • 6) 0,009 024 188 185 6 × 2 = 0 + 0,018 048 376 371 2;
  • 7) 0,018 048 376 371 2 × 2 = 0 + 0,036 096 752 742 4;
  • 8) 0,036 096 752 742 4 × 2 = 0 + 0,072 193 505 484 8;
  • 9) 0,072 193 505 484 8 × 2 = 0 + 0,144 387 010 969 6;
  • 10) 0,144 387 010 969 6 × 2 = 0 + 0,288 774 021 939 2;
  • 11) 0,288 774 021 939 2 × 2 = 0 + 0,577 548 043 878 4;
  • 12) 0,577 548 043 878 4 × 2 = 1 + 0,155 096 087 756 8;
  • 13) 0,155 096 087 756 8 × 2 = 0 + 0,310 192 175 513 6;
  • 14) 0,310 192 175 513 6 × 2 = 0 + 0,620 384 351 027 2;
  • 15) 0,620 384 351 027 2 × 2 = 1 + 0,240 768 702 054 4;
  • 16) 0,240 768 702 054 4 × 2 = 0 + 0,481 537 404 108 8;
  • 17) 0,481 537 404 108 8 × 2 = 0 + 0,963 074 808 217 6;
  • 18) 0,963 074 808 217 6 × 2 = 1 + 0,926 149 616 435 2;
  • 19) 0,926 149 616 435 2 × 2 = 1 + 0,852 299 232 870 4;
  • 20) 0,852 299 232 870 4 × 2 = 1 + 0,704 598 465 740 8;
  • 21) 0,704 598 465 740 8 × 2 = 1 + 0,409 196 931 481 6;
  • 22) 0,409 196 931 481 6 × 2 = 0 + 0,818 393 862 963 2;
  • 23) 0,818 393 862 963 2 × 2 = 1 + 0,636 787 725 926 4;
  • 24) 0,636 787 725 926 4 × 2 = 1 + 0,273 575 451 852 8;
  • 25) 0,273 575 451 852 8 × 2 = 0 + 0,547 150 903 705 6;
  • 26) 0,547 150 903 705 6 × 2 = 1 + 0,094 301 807 411 2;
  • 27) 0,094 301 807 411 2 × 2 = 0 + 0,188 603 614 822 4;
  • 28) 0,188 603 614 822 4 × 2 = 0 + 0,377 207 229 644 8;
  • 29) 0,377 207 229 644 8 × 2 = 0 + 0,754 414 459 289 6;
  • 30) 0,754 414 459 289 6 × 2 = 1 + 0,508 828 918 579 2;
  • 31) 0,508 828 918 579 2 × 2 = 1 + 0,017 657 837 158 4;
  • 32) 0,017 657 837 158 4 × 2 = 0 + 0,035 315 674 316 8;
  • 33) 0,035 315 674 316 8 × 2 = 0 + 0,070 631 348 633 6;
  • 34) 0,070 631 348 633 6 × 2 = 0 + 0,141 262 697 267 2;
  • 35) 0,141 262 697 267 2 × 2 = 0 + 0,282 525 394 534 4;
  • 36) 0,282 525 394 534 4 × 2 = 0 + 0,565 050 789 068 8;
  • 37) 0,565 050 789 068 8 × 2 = 1 + 0,130 101 578 137 6;
  • 38) 0,130 101 578 137 6 × 2 = 0 + 0,260 203 156 275 2;
  • 39) 0,260 203 156 275 2 × 2 = 0 + 0,520 406 312 550 4;
  • 40) 0,520 406 312 550 4 × 2 = 1 + 0,040 812 625 100 8;
  • 41) 0,040 812 625 100 8 × 2 = 0 + 0,081 625 250 201 6;
  • 42) 0,081 625 250 201 6 × 2 = 0 + 0,163 250 500 403 2;
  • 43) 0,163 250 500 403 2 × 2 = 0 + 0,326 501 000 806 4;
  • 44) 0,326 501 000 806 4 × 2 = 0 + 0,653 002 001 612 8;
  • 45) 0,653 002 001 612 8 × 2 = 1 + 0,306 004 003 225 6;
  • 46) 0,306 004 003 225 6 × 2 = 0 + 0,612 008 006 451 2;
  • 47) 0,612 008 006 451 2 × 2 = 1 + 0,224 016 012 902 4;
  • 48) 0,224 016 012 902 4 × 2 = 0 + 0,448 032 025 804 8;
  • 49) 0,448 032 025 804 8 × 2 = 0 + 0,896 064 051 609 6;
  • 50) 0,896 064 051 609 6 × 2 = 1 + 0,792 128 103 219 2;
  • 51) 0,792 128 103 219 2 × 2 = 1 + 0,584 256 206 438 4;
  • 52) 0,584 256 206 438 4 × 2 = 1 + 0,168 512 412 876 8;
  • 53) 0,168 512 412 876 8 × 2 = 0 + 0,337 024 825 753 6;
  • 54) 0,337 024 825 753 6 × 2 = 0 + 0,674 049 651 507 2;
  • 55) 0,674 049 651 507 2 × 2 = 1 + 0,348 099 303 014 4;
  • 56) 0,348 099 303 014 4 × 2 = 0 + 0,696 198 606 028 8;
  • 57) 0,696 198 606 028 8 × 2 = 1 + 0,392 397 212 057 6;
  • 58) 0,392 397 212 057 6 × 2 = 0 + 0,784 794 424 115 2;
  • 59) 0,784 794 424 115 2 × 2 = 1 + 0,569 588 848 230 4;
  • 60) 0,569 588 848 230 4 × 2 = 1 + 0,139 177 696 460 8;
  • 61) 0,139 177 696 460 8 × 2 = 0 + 0,278 355 392 921 6;
  • 62) 0,278 355 392 921 6 × 2 = 0 + 0,556 710 785 843 2;
  • 63) 0,556 710 785 843 2 × 2 = 1 + 0,113 421 571 686 4;
  • 64) 0,113 421 571 686 4 × 2 = 0 + 0,226 843 143 372 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 880 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 880 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 880 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 880 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0000 1010 0111 0010 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 886 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100