-0,000 282 005 881 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 881 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 881 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 881 2| = 0,000 282 005 881 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 881 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 881 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 762 4;
  • 2) 0,000 564 011 762 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 524 8;
  • 3) 0,001 128 023 524 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 049 6;
  • 4) 0,002 256 047 049 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 099 2;
  • 5) 0,004 512 094 099 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 198 4;
  • 6) 0,009 024 188 198 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 396 8;
  • 7) 0,018 048 376 396 8 × 2 = 0 + 0,036 096 752 793 6;
  • 8) 0,036 096 752 793 6 × 2 = 0 + 0,072 193 505 587 2;
  • 9) 0,072 193 505 587 2 × 2 = 0 + 0,144 387 011 174 4;
  • 10) 0,144 387 011 174 4 × 2 = 0 + 0,288 774 022 348 8;
  • 11) 0,288 774 022 348 8 × 2 = 0 + 0,577 548 044 697 6;
  • 12) 0,577 548 044 697 6 × 2 = 1 + 0,155 096 089 395 2;
  • 13) 0,155 096 089 395 2 × 2 = 0 + 0,310 192 178 790 4;
  • 14) 0,310 192 178 790 4 × 2 = 0 + 0,620 384 357 580 8;
  • 15) 0,620 384 357 580 8 × 2 = 1 + 0,240 768 715 161 6;
  • 16) 0,240 768 715 161 6 × 2 = 0 + 0,481 537 430 323 2;
  • 17) 0,481 537 430 323 2 × 2 = 0 + 0,963 074 860 646 4;
  • 18) 0,963 074 860 646 4 × 2 = 1 + 0,926 149 721 292 8;
  • 19) 0,926 149 721 292 8 × 2 = 1 + 0,852 299 442 585 6;
  • 20) 0,852 299 442 585 6 × 2 = 1 + 0,704 598 885 171 2;
  • 21) 0,704 598 885 171 2 × 2 = 1 + 0,409 197 770 342 4;
  • 22) 0,409 197 770 342 4 × 2 = 0 + 0,818 395 540 684 8;
  • 23) 0,818 395 540 684 8 × 2 = 1 + 0,636 791 081 369 6;
  • 24) 0,636 791 081 369 6 × 2 = 1 + 0,273 582 162 739 2;
  • 25) 0,273 582 162 739 2 × 2 = 0 + 0,547 164 325 478 4;
  • 26) 0,547 164 325 478 4 × 2 = 1 + 0,094 328 650 956 8;
  • 27) 0,094 328 650 956 8 × 2 = 0 + 0,188 657 301 913 6;
  • 28) 0,188 657 301 913 6 × 2 = 0 + 0,377 314 603 827 2;
  • 29) 0,377 314 603 827 2 × 2 = 0 + 0,754 629 207 654 4;
  • 30) 0,754 629 207 654 4 × 2 = 1 + 0,509 258 415 308 8;
  • 31) 0,509 258 415 308 8 × 2 = 1 + 0,018 516 830 617 6;
  • 32) 0,018 516 830 617 6 × 2 = 0 + 0,037 033 661 235 2;
  • 33) 0,037 033 661 235 2 × 2 = 0 + 0,074 067 322 470 4;
  • 34) 0,074 067 322 470 4 × 2 = 0 + 0,148 134 644 940 8;
  • 35) 0,148 134 644 940 8 × 2 = 0 + 0,296 269 289 881 6;
  • 36) 0,296 269 289 881 6 × 2 = 0 + 0,592 538 579 763 2;
  • 37) 0,592 538 579 763 2 × 2 = 1 + 0,185 077 159 526 4;
  • 38) 0,185 077 159 526 4 × 2 = 0 + 0,370 154 319 052 8;
  • 39) 0,370 154 319 052 8 × 2 = 0 + 0,740 308 638 105 6;
  • 40) 0,740 308 638 105 6 × 2 = 1 + 0,480 617 276 211 2;
  • 41) 0,480 617 276 211 2 × 2 = 0 + 0,961 234 552 422 4;
  • 42) 0,961 234 552 422 4 × 2 = 1 + 0,922 469 104 844 8;
  • 43) 0,922 469 104 844 8 × 2 = 1 + 0,844 938 209 689 6;
  • 44) 0,844 938 209 689 6 × 2 = 1 + 0,689 876 419 379 2;
  • 45) 0,689 876 419 379 2 × 2 = 1 + 0,379 752 838 758 4;
  • 46) 0,379 752 838 758 4 × 2 = 0 + 0,759 505 677 516 8;
  • 47) 0,759 505 677 516 8 × 2 = 1 + 0,519 011 355 033 6;
  • 48) 0,519 011 355 033 6 × 2 = 1 + 0,038 022 710 067 2;
  • 49) 0,038 022 710 067 2 × 2 = 0 + 0,076 045 420 134 4;
  • 50) 0,076 045 420 134 4 × 2 = 0 + 0,152 090 840 268 8;
  • 51) 0,152 090 840 268 8 × 2 = 0 + 0,304 181 680 537 6;
  • 52) 0,304 181 680 537 6 × 2 = 0 + 0,608 363 361 075 2;
  • 53) 0,608 363 361 075 2 × 2 = 1 + 0,216 726 722 150 4;
  • 54) 0,216 726 722 150 4 × 2 = 0 + 0,433 453 444 300 8;
  • 55) 0,433 453 444 300 8 × 2 = 0 + 0,866 906 888 601 6;
  • 56) 0,866 906 888 601 6 × 2 = 1 + 0,733 813 777 203 2;
  • 57) 0,733 813 777 203 2 × 2 = 1 + 0,467 627 554 406 4;
  • 58) 0,467 627 554 406 4 × 2 = 0 + 0,935 255 108 812 8;
  • 59) 0,935 255 108 812 8 × 2 = 1 + 0,870 510 217 625 6;
  • 60) 0,870 510 217 625 6 × 2 = 1 + 0,741 020 435 251 2;
  • 61) 0,741 020 435 251 2 × 2 = 1 + 0,482 040 870 502 4;
  • 62) 0,482 040 870 502 4 × 2 = 0 + 0,964 081 741 004 8;
  • 63) 0,964 081 741 004 8 × 2 = 1 + 0,928 163 482 009 6;
  • 64) 0,928 163 482 009 6 × 2 = 1 + 0,856 326 964 019 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 881 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 881 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 881 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 881 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1001 0111 1011 0000 1001 1011 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 878 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100