-0,000 282 005 882 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 882 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 882 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 882 9| = 0,000 282 005 882 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 882 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 882 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 765 8;
  • 2) 0,000 564 011 765 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 531 6;
  • 3) 0,001 128 023 531 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 063 2;
  • 4) 0,002 256 047 063 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 126 4;
  • 5) 0,004 512 094 126 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 252 8;
  • 6) 0,009 024 188 252 8 × 2 = 0 + 0,018 048 376 505 6;
  • 7) 0,018 048 376 505 6 × 2 = 0 + 0,036 096 753 011 2;
  • 8) 0,036 096 753 011 2 × 2 = 0 + 0,072 193 506 022 4;
  • 9) 0,072 193 506 022 4 × 2 = 0 + 0,144 387 012 044 8;
  • 10) 0,144 387 012 044 8 × 2 = 0 + 0,288 774 024 089 6;
  • 11) 0,288 774 024 089 6 × 2 = 0 + 0,577 548 048 179 2;
  • 12) 0,577 548 048 179 2 × 2 = 1 + 0,155 096 096 358 4;
  • 13) 0,155 096 096 358 4 × 2 = 0 + 0,310 192 192 716 8;
  • 14) 0,310 192 192 716 8 × 2 = 0 + 0,620 384 385 433 6;
  • 15) 0,620 384 385 433 6 × 2 = 1 + 0,240 768 770 867 2;
  • 16) 0,240 768 770 867 2 × 2 = 0 + 0,481 537 541 734 4;
  • 17) 0,481 537 541 734 4 × 2 = 0 + 0,963 075 083 468 8;
  • 18) 0,963 075 083 468 8 × 2 = 1 + 0,926 150 166 937 6;
  • 19) 0,926 150 166 937 6 × 2 = 1 + 0,852 300 333 875 2;
  • 20) 0,852 300 333 875 2 × 2 = 1 + 0,704 600 667 750 4;
  • 21) 0,704 600 667 750 4 × 2 = 1 + 0,409 201 335 500 8;
  • 22) 0,409 201 335 500 8 × 2 = 0 + 0,818 402 671 001 6;
  • 23) 0,818 402 671 001 6 × 2 = 1 + 0,636 805 342 003 2;
  • 24) 0,636 805 342 003 2 × 2 = 1 + 0,273 610 684 006 4;
  • 25) 0,273 610 684 006 4 × 2 = 0 + 0,547 221 368 012 8;
  • 26) 0,547 221 368 012 8 × 2 = 1 + 0,094 442 736 025 6;
  • 27) 0,094 442 736 025 6 × 2 = 0 + 0,188 885 472 051 2;
  • 28) 0,188 885 472 051 2 × 2 = 0 + 0,377 770 944 102 4;
  • 29) 0,377 770 944 102 4 × 2 = 0 + 0,755 541 888 204 8;
  • 30) 0,755 541 888 204 8 × 2 = 1 + 0,511 083 776 409 6;
  • 31) 0,511 083 776 409 6 × 2 = 1 + 0,022 167 552 819 2;
  • 32) 0,022 167 552 819 2 × 2 = 0 + 0,044 335 105 638 4;
  • 33) 0,044 335 105 638 4 × 2 = 0 + 0,088 670 211 276 8;
  • 34) 0,088 670 211 276 8 × 2 = 0 + 0,177 340 422 553 6;
  • 35) 0,177 340 422 553 6 × 2 = 0 + 0,354 680 845 107 2;
  • 36) 0,354 680 845 107 2 × 2 = 0 + 0,709 361 690 214 4;
  • 37) 0,709 361 690 214 4 × 2 = 1 + 0,418 723 380 428 8;
  • 38) 0,418 723 380 428 8 × 2 = 0 + 0,837 446 760 857 6;
  • 39) 0,837 446 760 857 6 × 2 = 1 + 0,674 893 521 715 2;
  • 40) 0,674 893 521 715 2 × 2 = 1 + 0,349 787 043 430 4;
  • 41) 0,349 787 043 430 4 × 2 = 0 + 0,699 574 086 860 8;
  • 42) 0,699 574 086 860 8 × 2 = 1 + 0,399 148 173 721 6;
  • 43) 0,399 148 173 721 6 × 2 = 0 + 0,798 296 347 443 2;
  • 44) 0,798 296 347 443 2 × 2 = 1 + 0,596 592 694 886 4;
  • 45) 0,596 592 694 886 4 × 2 = 1 + 0,193 185 389 772 8;
  • 46) 0,193 185 389 772 8 × 2 = 0 + 0,386 370 779 545 6;
  • 47) 0,386 370 779 545 6 × 2 = 0 + 0,772 741 559 091 2;
  • 48) 0,772 741 559 091 2 × 2 = 1 + 0,545 483 118 182 4;
  • 49) 0,545 483 118 182 4 × 2 = 1 + 0,090 966 236 364 8;
  • 50) 0,090 966 236 364 8 × 2 = 0 + 0,181 932 472 729 6;
  • 51) 0,181 932 472 729 6 × 2 = 0 + 0,363 864 945 459 2;
  • 52) 0,363 864 945 459 2 × 2 = 0 + 0,727 729 890 918 4;
  • 53) 0,727 729 890 918 4 × 2 = 1 + 0,455 459 781 836 8;
  • 54) 0,455 459 781 836 8 × 2 = 0 + 0,910 919 563 673 6;
  • 55) 0,910 919 563 673 6 × 2 = 1 + 0,821 839 127 347 2;
  • 56) 0,821 839 127 347 2 × 2 = 1 + 0,643 678 254 694 4;
  • 57) 0,643 678 254 694 4 × 2 = 1 + 0,287 356 509 388 8;
  • 58) 0,287 356 509 388 8 × 2 = 0 + 0,574 713 018 777 6;
  • 59) 0,574 713 018 777 6 × 2 = 1 + 0,149 426 037 555 2;
  • 60) 0,149 426 037 555 2 × 2 = 0 + 0,298 852 075 110 4;
  • 61) 0,298 852 075 110 4 × 2 = 0 + 0,597 704 150 220 8;
  • 62) 0,597 704 150 220 8 × 2 = 1 + 0,195 408 300 441 6;
  • 63) 0,195 408 300 441 6 × 2 = 0 + 0,390 816 600 883 2;
  • 64) 0,390 816 600 883 2 × 2 = 0 + 0,781 633 201 766 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 882 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 882 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 882 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 882 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1011 0101 1001 1000 1011 1010 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 889 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100