-0,000 282 005 884 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 884 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 884 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 884 6| = 0,000 282 005 884 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 884 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 884 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 769 2;
  • 2) 0,000 564 011 769 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 538 4;
  • 3) 0,001 128 023 538 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 076 8;
  • 4) 0,002 256 047 076 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 153 6;
  • 5) 0,004 512 094 153 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 307 2;
  • 6) 0,009 024 188 307 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 614 4;
  • 7) 0,018 048 376 614 4 × 2 = 0 + 0,036 096 753 228 8;
  • 8) 0,036 096 753 228 8 × 2 = 0 + 0,072 193 506 457 6;
  • 9) 0,072 193 506 457 6 × 2 = 0 + 0,144 387 012 915 2;
  • 10) 0,144 387 012 915 2 × 2 = 0 + 0,288 774 025 830 4;
  • 11) 0,288 774 025 830 4 × 2 = 0 + 0,577 548 051 660 8;
  • 12) 0,577 548 051 660 8 × 2 = 1 + 0,155 096 103 321 6;
  • 13) 0,155 096 103 321 6 × 2 = 0 + 0,310 192 206 643 2;
  • 14) 0,310 192 206 643 2 × 2 = 0 + 0,620 384 413 286 4;
  • 15) 0,620 384 413 286 4 × 2 = 1 + 0,240 768 826 572 8;
  • 16) 0,240 768 826 572 8 × 2 = 0 + 0,481 537 653 145 6;
  • 17) 0,481 537 653 145 6 × 2 = 0 + 0,963 075 306 291 2;
  • 18) 0,963 075 306 291 2 × 2 = 1 + 0,926 150 612 582 4;
  • 19) 0,926 150 612 582 4 × 2 = 1 + 0,852 301 225 164 8;
  • 20) 0,852 301 225 164 8 × 2 = 1 + 0,704 602 450 329 6;
  • 21) 0,704 602 450 329 6 × 2 = 1 + 0,409 204 900 659 2;
  • 22) 0,409 204 900 659 2 × 2 = 0 + 0,818 409 801 318 4;
  • 23) 0,818 409 801 318 4 × 2 = 1 + 0,636 819 602 636 8;
  • 24) 0,636 819 602 636 8 × 2 = 1 + 0,273 639 205 273 6;
  • 25) 0,273 639 205 273 6 × 2 = 0 + 0,547 278 410 547 2;
  • 26) 0,547 278 410 547 2 × 2 = 1 + 0,094 556 821 094 4;
  • 27) 0,094 556 821 094 4 × 2 = 0 + 0,189 113 642 188 8;
  • 28) 0,189 113 642 188 8 × 2 = 0 + 0,378 227 284 377 6;
  • 29) 0,378 227 284 377 6 × 2 = 0 + 0,756 454 568 755 2;
  • 30) 0,756 454 568 755 2 × 2 = 1 + 0,512 909 137 510 4;
  • 31) 0,512 909 137 510 4 × 2 = 1 + 0,025 818 275 020 8;
  • 32) 0,025 818 275 020 8 × 2 = 0 + 0,051 636 550 041 6;
  • 33) 0,051 636 550 041 6 × 2 = 0 + 0,103 273 100 083 2;
  • 34) 0,103 273 100 083 2 × 2 = 0 + 0,206 546 200 166 4;
  • 35) 0,206 546 200 166 4 × 2 = 0 + 0,413 092 400 332 8;
  • 36) 0,413 092 400 332 8 × 2 = 0 + 0,826 184 800 665 6;
  • 37) 0,826 184 800 665 6 × 2 = 1 + 0,652 369 601 331 2;
  • 38) 0,652 369 601 331 2 × 2 = 1 + 0,304 739 202 662 4;
  • 39) 0,304 739 202 662 4 × 2 = 0 + 0,609 478 405 324 8;
  • 40) 0,609 478 405 324 8 × 2 = 1 + 0,218 956 810 649 6;
  • 41) 0,218 956 810 649 6 × 2 = 0 + 0,437 913 621 299 2;
  • 42) 0,437 913 621 299 2 × 2 = 0 + 0,875 827 242 598 4;
  • 43) 0,875 827 242 598 4 × 2 = 1 + 0,751 654 485 196 8;
  • 44) 0,751 654 485 196 8 × 2 = 1 + 0,503 308 970 393 6;
  • 45) 0,503 308 970 393 6 × 2 = 1 + 0,006 617 940 787 2;
  • 46) 0,006 617 940 787 2 × 2 = 0 + 0,013 235 881 574 4;
  • 47) 0,013 235 881 574 4 × 2 = 0 + 0,026 471 763 148 8;
  • 48) 0,026 471 763 148 8 × 2 = 0 + 0,052 943 526 297 6;
  • 49) 0,052 943 526 297 6 × 2 = 0 + 0,105 887 052 595 2;
  • 50) 0,105 887 052 595 2 × 2 = 0 + 0,211 774 105 190 4;
  • 51) 0,211 774 105 190 4 × 2 = 0 + 0,423 548 210 380 8;
  • 52) 0,423 548 210 380 8 × 2 = 0 + 0,847 096 420 761 6;
  • 53) 0,847 096 420 761 6 × 2 = 1 + 0,694 192 841 523 2;
  • 54) 0,694 192 841 523 2 × 2 = 1 + 0,388 385 683 046 4;
  • 55) 0,388 385 683 046 4 × 2 = 0 + 0,776 771 366 092 8;
  • 56) 0,776 771 366 092 8 × 2 = 1 + 0,553 542 732 185 6;
  • 57) 0,553 542 732 185 6 × 2 = 1 + 0,107 085 464 371 2;
  • 58) 0,107 085 464 371 2 × 2 = 0 + 0,214 170 928 742 4;
  • 59) 0,214 170 928 742 4 × 2 = 0 + 0,428 341 857 484 8;
  • 60) 0,428 341 857 484 8 × 2 = 0 + 0,856 683 714 969 6;
  • 61) 0,856 683 714 969 6 × 2 = 1 + 0,713 367 429 939 2;
  • 62) 0,713 367 429 939 2 × 2 = 1 + 0,426 734 859 878 4;
  • 63) 0,426 734 859 878 4 × 2 = 0 + 0,853 469 719 756 8;
  • 64) 0,853 469 719 756 8 × 2 = 1 + 0,706 939 439 513 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 884 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 884 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 884 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 884 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0011 1000 0000 1101 1000 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 876 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100