-0,000 282 005 884 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 884 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 884 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 884 7| = 0,000 282 005 884 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 884 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 884 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 769 4;
  • 2) 0,000 564 011 769 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 538 8;
  • 3) 0,001 128 023 538 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 077 6;
  • 4) 0,002 256 047 077 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 155 2;
  • 5) 0,004 512 094 155 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 310 4;
  • 6) 0,009 024 188 310 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 620 8;
  • 7) 0,018 048 376 620 8 × 2 = 0 + 0,036 096 753 241 6;
  • 8) 0,036 096 753 241 6 × 2 = 0 + 0,072 193 506 483 2;
  • 9) 0,072 193 506 483 2 × 2 = 0 + 0,144 387 012 966 4;
  • 10) 0,144 387 012 966 4 × 2 = 0 + 0,288 774 025 932 8;
  • 11) 0,288 774 025 932 8 × 2 = 0 + 0,577 548 051 865 6;
  • 12) 0,577 548 051 865 6 × 2 = 1 + 0,155 096 103 731 2;
  • 13) 0,155 096 103 731 2 × 2 = 0 + 0,310 192 207 462 4;
  • 14) 0,310 192 207 462 4 × 2 = 0 + 0,620 384 414 924 8;
  • 15) 0,620 384 414 924 8 × 2 = 1 + 0,240 768 829 849 6;
  • 16) 0,240 768 829 849 6 × 2 = 0 + 0,481 537 659 699 2;
  • 17) 0,481 537 659 699 2 × 2 = 0 + 0,963 075 319 398 4;
  • 18) 0,963 075 319 398 4 × 2 = 1 + 0,926 150 638 796 8;
  • 19) 0,926 150 638 796 8 × 2 = 1 + 0,852 301 277 593 6;
  • 20) 0,852 301 277 593 6 × 2 = 1 + 0,704 602 555 187 2;
  • 21) 0,704 602 555 187 2 × 2 = 1 + 0,409 205 110 374 4;
  • 22) 0,409 205 110 374 4 × 2 = 0 + 0,818 410 220 748 8;
  • 23) 0,818 410 220 748 8 × 2 = 1 + 0,636 820 441 497 6;
  • 24) 0,636 820 441 497 6 × 2 = 1 + 0,273 640 882 995 2;
  • 25) 0,273 640 882 995 2 × 2 = 0 + 0,547 281 765 990 4;
  • 26) 0,547 281 765 990 4 × 2 = 1 + 0,094 563 531 980 8;
  • 27) 0,094 563 531 980 8 × 2 = 0 + 0,189 127 063 961 6;
  • 28) 0,189 127 063 961 6 × 2 = 0 + 0,378 254 127 923 2;
  • 29) 0,378 254 127 923 2 × 2 = 0 + 0,756 508 255 846 4;
  • 30) 0,756 508 255 846 4 × 2 = 1 + 0,513 016 511 692 8;
  • 31) 0,513 016 511 692 8 × 2 = 1 + 0,026 033 023 385 6;
  • 32) 0,026 033 023 385 6 × 2 = 0 + 0,052 066 046 771 2;
  • 33) 0,052 066 046 771 2 × 2 = 0 + 0,104 132 093 542 4;
  • 34) 0,104 132 093 542 4 × 2 = 0 + 0,208 264 187 084 8;
  • 35) 0,208 264 187 084 8 × 2 = 0 + 0,416 528 374 169 6;
  • 36) 0,416 528 374 169 6 × 2 = 0 + 0,833 056 748 339 2;
  • 37) 0,833 056 748 339 2 × 2 = 1 + 0,666 113 496 678 4;
  • 38) 0,666 113 496 678 4 × 2 = 1 + 0,332 226 993 356 8;
  • 39) 0,332 226 993 356 8 × 2 = 0 + 0,664 453 986 713 6;
  • 40) 0,664 453 986 713 6 × 2 = 1 + 0,328 907 973 427 2;
  • 41) 0,328 907 973 427 2 × 2 = 0 + 0,657 815 946 854 4;
  • 42) 0,657 815 946 854 4 × 2 = 1 + 0,315 631 893 708 8;
  • 43) 0,315 631 893 708 8 × 2 = 0 + 0,631 263 787 417 6;
  • 44) 0,631 263 787 417 6 × 2 = 1 + 0,262 527 574 835 2;
  • 45) 0,262 527 574 835 2 × 2 = 0 + 0,525 055 149 670 4;
  • 46) 0,525 055 149 670 4 × 2 = 1 + 0,050 110 299 340 8;
  • 47) 0,050 110 299 340 8 × 2 = 0 + 0,100 220 598 681 6;
  • 48) 0,100 220 598 681 6 × 2 = 0 + 0,200 441 197 363 2;
  • 49) 0,200 441 197 363 2 × 2 = 0 + 0,400 882 394 726 4;
  • 50) 0,400 882 394 726 4 × 2 = 0 + 0,801 764 789 452 8;
  • 51) 0,801 764 789 452 8 × 2 = 1 + 0,603 529 578 905 6;
  • 52) 0,603 529 578 905 6 × 2 = 1 + 0,207 059 157 811 2;
  • 53) 0,207 059 157 811 2 × 2 = 0 + 0,414 118 315 622 4;
  • 54) 0,414 118 315 622 4 × 2 = 0 + 0,828 236 631 244 8;
  • 55) 0,828 236 631 244 8 × 2 = 1 + 0,656 473 262 489 6;
  • 56) 0,656 473 262 489 6 × 2 = 1 + 0,312 946 524 979 2;
  • 57) 0,312 946 524 979 2 × 2 = 0 + 0,625 893 049 958 4;
  • 58) 0,625 893 049 958 4 × 2 = 1 + 0,251 786 099 916 8;
  • 59) 0,251 786 099 916 8 × 2 = 0 + 0,503 572 199 833 6;
  • 60) 0,503 572 199 833 6 × 2 = 1 + 0,007 144 399 667 2;
  • 61) 0,007 144 399 667 2 × 2 = 0 + 0,014 288 799 334 4;
  • 62) 0,014 288 799 334 4 × 2 = 0 + 0,028 577 598 668 8;
  • 63) 0,028 577 598 668 8 × 2 = 0 + 0,057 155 197 337 6;
  • 64) 0,057 155 197 337 6 × 2 = 0 + 0,114 310 394 675 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 884 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 884 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 884 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 884 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1101 0101 0100 0011 0011 0101 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 877 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100