-0,000 282 005 886 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 886(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 886(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 886| = 0,000 282 005 886


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 886.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 886 × 2 = 0 + 0,000 564 011 772;
  • 2) 0,000 564 011 772 × 2 = 0 + 0,001 128 023 544;
  • 3) 0,001 128 023 544 × 2 = 0 + 0,002 256 047 088;
  • 4) 0,002 256 047 088 × 2 = 0 + 0,004 512 094 176;
  • 5) 0,004 512 094 176 × 2 = 0 + 0,009 024 188 352;
  • 6) 0,009 024 188 352 × 2 = 0 + 0,018 048 376 704;
  • 7) 0,018 048 376 704 × 2 = 0 + 0,036 096 753 408;
  • 8) 0,036 096 753 408 × 2 = 0 + 0,072 193 506 816;
  • 9) 0,072 193 506 816 × 2 = 0 + 0,144 387 013 632;
  • 10) 0,144 387 013 632 × 2 = 0 + 0,288 774 027 264;
  • 11) 0,288 774 027 264 × 2 = 0 + 0,577 548 054 528;
  • 12) 0,577 548 054 528 × 2 = 1 + 0,155 096 109 056;
  • 13) 0,155 096 109 056 × 2 = 0 + 0,310 192 218 112;
  • 14) 0,310 192 218 112 × 2 = 0 + 0,620 384 436 224;
  • 15) 0,620 384 436 224 × 2 = 1 + 0,240 768 872 448;
  • 16) 0,240 768 872 448 × 2 = 0 + 0,481 537 744 896;
  • 17) 0,481 537 744 896 × 2 = 0 + 0,963 075 489 792;
  • 18) 0,963 075 489 792 × 2 = 1 + 0,926 150 979 584;
  • 19) 0,926 150 979 584 × 2 = 1 + 0,852 301 959 168;
  • 20) 0,852 301 959 168 × 2 = 1 + 0,704 603 918 336;
  • 21) 0,704 603 918 336 × 2 = 1 + 0,409 207 836 672;
  • 22) 0,409 207 836 672 × 2 = 0 + 0,818 415 673 344;
  • 23) 0,818 415 673 344 × 2 = 1 + 0,636 831 346 688;
  • 24) 0,636 831 346 688 × 2 = 1 + 0,273 662 693 376;
  • 25) 0,273 662 693 376 × 2 = 0 + 0,547 325 386 752;
  • 26) 0,547 325 386 752 × 2 = 1 + 0,094 650 773 504;
  • 27) 0,094 650 773 504 × 2 = 0 + 0,189 301 547 008;
  • 28) 0,189 301 547 008 × 2 = 0 + 0,378 603 094 016;
  • 29) 0,378 603 094 016 × 2 = 0 + 0,757 206 188 032;
  • 30) 0,757 206 188 032 × 2 = 1 + 0,514 412 376 064;
  • 31) 0,514 412 376 064 × 2 = 1 + 0,028 824 752 128;
  • 32) 0,028 824 752 128 × 2 = 0 + 0,057 649 504 256;
  • 33) 0,057 649 504 256 × 2 = 0 + 0,115 299 008 512;
  • 34) 0,115 299 008 512 × 2 = 0 + 0,230 598 017 024;
  • 35) 0,230 598 017 024 × 2 = 0 + 0,461 196 034 048;
  • 36) 0,461 196 034 048 × 2 = 0 + 0,922 392 068 096;
  • 37) 0,922 392 068 096 × 2 = 1 + 0,844 784 136 192;
  • 38) 0,844 784 136 192 × 2 = 1 + 0,689 568 272 384;
  • 39) 0,689 568 272 384 × 2 = 1 + 0,379 136 544 768;
  • 40) 0,379 136 544 768 × 2 = 0 + 0,758 273 089 536;
  • 41) 0,758 273 089 536 × 2 = 1 + 0,516 546 179 072;
  • 42) 0,516 546 179 072 × 2 = 1 + 0,033 092 358 144;
  • 43) 0,033 092 358 144 × 2 = 0 + 0,066 184 716 288;
  • 44) 0,066 184 716 288 × 2 = 0 + 0,132 369 432 576;
  • 45) 0,132 369 432 576 × 2 = 0 + 0,264 738 865 152;
  • 46) 0,264 738 865 152 × 2 = 0 + 0,529 477 730 304;
  • 47) 0,529 477 730 304 × 2 = 1 + 0,058 955 460 608;
  • 48) 0,058 955 460 608 × 2 = 0 + 0,117 910 921 216;
  • 49) 0,117 910 921 216 × 2 = 0 + 0,235 821 842 432;
  • 50) 0,235 821 842 432 × 2 = 0 + 0,471 643 684 864;
  • 51) 0,471 643 684 864 × 2 = 0 + 0,943 287 369 728;
  • 52) 0,943 287 369 728 × 2 = 1 + 0,886 574 739 456;
  • 53) 0,886 574 739 456 × 2 = 1 + 0,773 149 478 912;
  • 54) 0,773 149 478 912 × 2 = 1 + 0,546 298 957 824;
  • 55) 0,546 298 957 824 × 2 = 1 + 0,092 597 915 648;
  • 56) 0,092 597 915 648 × 2 = 0 + 0,185 195 831 296;
  • 57) 0,185 195 831 296 × 2 = 0 + 0,370 391 662 592;
  • 58) 0,370 391 662 592 × 2 = 0 + 0,740 783 325 184;
  • 59) 0,740 783 325 184 × 2 = 1 + 0,481 566 650 368;
  • 60) 0,481 566 650 368 × 2 = 0 + 0,963 133 300 736;
  • 61) 0,963 133 300 736 × 2 = 1 + 0,926 266 601 472;
  • 62) 0,926 266 601 472 × 2 = 1 + 0,852 533 202 944;
  • 63) 0,852 533 202 944 × 2 = 1 + 0,705 066 405 888;
  • 64) 0,705 066 405 888 × 2 = 1 + 0,410 132 811 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 886(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 886(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 886(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 886 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1110 1100 0010 0001 1110 0010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 937 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100