-0,000 282 005 886 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 886 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 886 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 886 3| = 0,000 282 005 886 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 886 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 886 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 772 6;
  • 2) 0,000 564 011 772 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 545 2;
  • 3) 0,001 128 023 545 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 090 4;
  • 4) 0,002 256 047 090 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 180 8;
  • 5) 0,004 512 094 180 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 361 6;
  • 6) 0,009 024 188 361 6 × 2 = 0 + 0,018 048 376 723 2;
  • 7) 0,018 048 376 723 2 × 2 = 0 + 0,036 096 753 446 4;
  • 8) 0,036 096 753 446 4 × 2 = 0 + 0,072 193 506 892 8;
  • 9) 0,072 193 506 892 8 × 2 = 0 + 0,144 387 013 785 6;
  • 10) 0,144 387 013 785 6 × 2 = 0 + 0,288 774 027 571 2;
  • 11) 0,288 774 027 571 2 × 2 = 0 + 0,577 548 055 142 4;
  • 12) 0,577 548 055 142 4 × 2 = 1 + 0,155 096 110 284 8;
  • 13) 0,155 096 110 284 8 × 2 = 0 + 0,310 192 220 569 6;
  • 14) 0,310 192 220 569 6 × 2 = 0 + 0,620 384 441 139 2;
  • 15) 0,620 384 441 139 2 × 2 = 1 + 0,240 768 882 278 4;
  • 16) 0,240 768 882 278 4 × 2 = 0 + 0,481 537 764 556 8;
  • 17) 0,481 537 764 556 8 × 2 = 0 + 0,963 075 529 113 6;
  • 18) 0,963 075 529 113 6 × 2 = 1 + 0,926 151 058 227 2;
  • 19) 0,926 151 058 227 2 × 2 = 1 + 0,852 302 116 454 4;
  • 20) 0,852 302 116 454 4 × 2 = 1 + 0,704 604 232 908 8;
  • 21) 0,704 604 232 908 8 × 2 = 1 + 0,409 208 465 817 6;
  • 22) 0,409 208 465 817 6 × 2 = 0 + 0,818 416 931 635 2;
  • 23) 0,818 416 931 635 2 × 2 = 1 + 0,636 833 863 270 4;
  • 24) 0,636 833 863 270 4 × 2 = 1 + 0,273 667 726 540 8;
  • 25) 0,273 667 726 540 8 × 2 = 0 + 0,547 335 453 081 6;
  • 26) 0,547 335 453 081 6 × 2 = 1 + 0,094 670 906 163 2;
  • 27) 0,094 670 906 163 2 × 2 = 0 + 0,189 341 812 326 4;
  • 28) 0,189 341 812 326 4 × 2 = 0 + 0,378 683 624 652 8;
  • 29) 0,378 683 624 652 8 × 2 = 0 + 0,757 367 249 305 6;
  • 30) 0,757 367 249 305 6 × 2 = 1 + 0,514 734 498 611 2;
  • 31) 0,514 734 498 611 2 × 2 = 1 + 0,029 468 997 222 4;
  • 32) 0,029 468 997 222 4 × 2 = 0 + 0,058 937 994 444 8;
  • 33) 0,058 937 994 444 8 × 2 = 0 + 0,117 875 988 889 6;
  • 34) 0,117 875 988 889 6 × 2 = 0 + 0,235 751 977 779 2;
  • 35) 0,235 751 977 779 2 × 2 = 0 + 0,471 503 955 558 4;
  • 36) 0,471 503 955 558 4 × 2 = 0 + 0,943 007 911 116 8;
  • 37) 0,943 007 911 116 8 × 2 = 1 + 0,886 015 822 233 6;
  • 38) 0,886 015 822 233 6 × 2 = 1 + 0,772 031 644 467 2;
  • 39) 0,772 031 644 467 2 × 2 = 1 + 0,544 063 288 934 4;
  • 40) 0,544 063 288 934 4 × 2 = 1 + 0,088 126 577 868 8;
  • 41) 0,088 126 577 868 8 × 2 = 0 + 0,176 253 155 737 6;
  • 42) 0,176 253 155 737 6 × 2 = 0 + 0,352 506 311 475 2;
  • 43) 0,352 506 311 475 2 × 2 = 0 + 0,705 012 622 950 4;
  • 44) 0,705 012 622 950 4 × 2 = 1 + 0,410 025 245 900 8;
  • 45) 0,410 025 245 900 8 × 2 = 0 + 0,820 050 491 801 6;
  • 46) 0,820 050 491 801 6 × 2 = 1 + 0,640 100 983 603 2;
  • 47) 0,640 100 983 603 2 × 2 = 1 + 0,280 201 967 206 4;
  • 48) 0,280 201 967 206 4 × 2 = 0 + 0,560 403 934 412 8;
  • 49) 0,560 403 934 412 8 × 2 = 1 + 0,120 807 868 825 6;
  • 50) 0,120 807 868 825 6 × 2 = 0 + 0,241 615 737 651 2;
  • 51) 0,241 615 737 651 2 × 2 = 0 + 0,483 231 475 302 4;
  • 52) 0,483 231 475 302 4 × 2 = 0 + 0,966 462 950 604 8;
  • 53) 0,966 462 950 604 8 × 2 = 1 + 0,932 925 901 209 6;
  • 54) 0,932 925 901 209 6 × 2 = 1 + 0,865 851 802 419 2;
  • 55) 0,865 851 802 419 2 × 2 = 1 + 0,731 703 604 838 4;
  • 56) 0,731 703 604 838 4 × 2 = 1 + 0,463 407 209 676 8;
  • 57) 0,463 407 209 676 8 × 2 = 0 + 0,926 814 419 353 6;
  • 58) 0,926 814 419 353 6 × 2 = 1 + 0,853 628 838 707 2;
  • 59) 0,853 628 838 707 2 × 2 = 1 + 0,707 257 677 414 4;
  • 60) 0,707 257 677 414 4 × 2 = 1 + 0,414 515 354 828 8;
  • 61) 0,414 515 354 828 8 × 2 = 0 + 0,829 030 709 657 6;
  • 62) 0,829 030 709 657 6 × 2 = 1 + 0,658 061 419 315 2;
  • 63) 0,658 061 419 315 2 × 2 = 1 + 0,316 122 838 630 4;
  • 64) 0,316 122 838 630 4 × 2 = 0 + 0,632 245 677 260 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 886 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 886 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 886 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 886 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 0001 0110 1000 1111 0111 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 880 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100