-0,000 282 005 886 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 886 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 886 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 886 7| = 0,000 282 005 886 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 886 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 886 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 773 4;
  • 2) 0,000 564 011 773 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 546 8;
  • 3) 0,001 128 023 546 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 093 6;
  • 4) 0,002 256 047 093 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 187 2;
  • 5) 0,004 512 094 187 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 374 4;
  • 6) 0,009 024 188 374 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 748 8;
  • 7) 0,018 048 376 748 8 × 2 = 0 + 0,036 096 753 497 6;
  • 8) 0,036 096 753 497 6 × 2 = 0 + 0,072 193 506 995 2;
  • 9) 0,072 193 506 995 2 × 2 = 0 + 0,144 387 013 990 4;
  • 10) 0,144 387 013 990 4 × 2 = 0 + 0,288 774 027 980 8;
  • 11) 0,288 774 027 980 8 × 2 = 0 + 0,577 548 055 961 6;
  • 12) 0,577 548 055 961 6 × 2 = 1 + 0,155 096 111 923 2;
  • 13) 0,155 096 111 923 2 × 2 = 0 + 0,310 192 223 846 4;
  • 14) 0,310 192 223 846 4 × 2 = 0 + 0,620 384 447 692 8;
  • 15) 0,620 384 447 692 8 × 2 = 1 + 0,240 768 895 385 6;
  • 16) 0,240 768 895 385 6 × 2 = 0 + 0,481 537 790 771 2;
  • 17) 0,481 537 790 771 2 × 2 = 0 + 0,963 075 581 542 4;
  • 18) 0,963 075 581 542 4 × 2 = 1 + 0,926 151 163 084 8;
  • 19) 0,926 151 163 084 8 × 2 = 1 + 0,852 302 326 169 6;
  • 20) 0,852 302 326 169 6 × 2 = 1 + 0,704 604 652 339 2;
  • 21) 0,704 604 652 339 2 × 2 = 1 + 0,409 209 304 678 4;
  • 22) 0,409 209 304 678 4 × 2 = 0 + 0,818 418 609 356 8;
  • 23) 0,818 418 609 356 8 × 2 = 1 + 0,636 837 218 713 6;
  • 24) 0,636 837 218 713 6 × 2 = 1 + 0,273 674 437 427 2;
  • 25) 0,273 674 437 427 2 × 2 = 0 + 0,547 348 874 854 4;
  • 26) 0,547 348 874 854 4 × 2 = 1 + 0,094 697 749 708 8;
  • 27) 0,094 697 749 708 8 × 2 = 0 + 0,189 395 499 417 6;
  • 28) 0,189 395 499 417 6 × 2 = 0 + 0,378 790 998 835 2;
  • 29) 0,378 790 998 835 2 × 2 = 0 + 0,757 581 997 670 4;
  • 30) 0,757 581 997 670 4 × 2 = 1 + 0,515 163 995 340 8;
  • 31) 0,515 163 995 340 8 × 2 = 1 + 0,030 327 990 681 6;
  • 32) 0,030 327 990 681 6 × 2 = 0 + 0,060 655 981 363 2;
  • 33) 0,060 655 981 363 2 × 2 = 0 + 0,121 311 962 726 4;
  • 34) 0,121 311 962 726 4 × 2 = 0 + 0,242 623 925 452 8;
  • 35) 0,242 623 925 452 8 × 2 = 0 + 0,485 247 850 905 6;
  • 36) 0,485 247 850 905 6 × 2 = 0 + 0,970 495 701 811 2;
  • 37) 0,970 495 701 811 2 × 2 = 1 + 0,940 991 403 622 4;
  • 38) 0,940 991 403 622 4 × 2 = 1 + 0,881 982 807 244 8;
  • 39) 0,881 982 807 244 8 × 2 = 1 + 0,763 965 614 489 6;
  • 40) 0,763 965 614 489 6 × 2 = 1 + 0,527 931 228 979 2;
  • 41) 0,527 931 228 979 2 × 2 = 1 + 0,055 862 457 958 4;
  • 42) 0,055 862 457 958 4 × 2 = 0 + 0,111 724 915 916 8;
  • 43) 0,111 724 915 916 8 × 2 = 0 + 0,223 449 831 833 6;
  • 44) 0,223 449 831 833 6 × 2 = 0 + 0,446 899 663 667 2;
  • 45) 0,446 899 663 667 2 × 2 = 0 + 0,893 799 327 334 4;
  • 46) 0,893 799 327 334 4 × 2 = 1 + 0,787 598 654 668 8;
  • 47) 0,787 598 654 668 8 × 2 = 1 + 0,575 197 309 337 6;
  • 48) 0,575 197 309 337 6 × 2 = 1 + 0,150 394 618 675 2;
  • 49) 0,150 394 618 675 2 × 2 = 0 + 0,300 789 237 350 4;
  • 50) 0,300 789 237 350 4 × 2 = 0 + 0,601 578 474 700 8;
  • 51) 0,601 578 474 700 8 × 2 = 1 + 0,203 156 949 401 6;
  • 52) 0,203 156 949 401 6 × 2 = 0 + 0,406 313 898 803 2;
  • 53) 0,406 313 898 803 2 × 2 = 0 + 0,812 627 797 606 4;
  • 54) 0,812 627 797 606 4 × 2 = 1 + 0,625 255 595 212 8;
  • 55) 0,625 255 595 212 8 × 2 = 1 + 0,250 511 190 425 6;
  • 56) 0,250 511 190 425 6 × 2 = 0 + 0,501 022 380 851 2;
  • 57) 0,501 022 380 851 2 × 2 = 1 + 0,002 044 761 702 4;
  • 58) 0,002 044 761 702 4 × 2 = 0 + 0,004 089 523 404 8;
  • 59) 0,004 089 523 404 8 × 2 = 0 + 0,008 179 046 809 6;
  • 60) 0,008 179 046 809 6 × 2 = 0 + 0,016 358 093 619 2;
  • 61) 0,016 358 093 619 2 × 2 = 0 + 0,032 716 187 238 4;
  • 62) 0,032 716 187 238 4 × 2 = 0 + 0,065 432 374 476 8;
  • 63) 0,065 432 374 476 8 × 2 = 0 + 0,130 864 748 953 6;
  • 64) 0,130 864 748 953 6 × 2 = 0 + 0,261 729 497 907 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 886 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 886 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 886 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 886 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1000 0111 0010 0110 1000 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 878 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100