-0,000 282 005 886 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 886 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 886 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 886 9| = 0,000 282 005 886 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 886 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 886 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 773 8;
  • 2) 0,000 564 011 773 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 547 6;
  • 3) 0,001 128 023 547 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 095 2;
  • 4) 0,002 256 047 095 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 190 4;
  • 5) 0,004 512 094 190 4 × 2 = 0 + 0,009 024 188 380 8;
  • 6) 0,009 024 188 380 8 × 2 = 0 + 0,018 048 376 761 6;
  • 7) 0,018 048 376 761 6 × 2 = 0 + 0,036 096 753 523 2;
  • 8) 0,036 096 753 523 2 × 2 = 0 + 0,072 193 507 046 4;
  • 9) 0,072 193 507 046 4 × 2 = 0 + 0,144 387 014 092 8;
  • 10) 0,144 387 014 092 8 × 2 = 0 + 0,288 774 028 185 6;
  • 11) 0,288 774 028 185 6 × 2 = 0 + 0,577 548 056 371 2;
  • 12) 0,577 548 056 371 2 × 2 = 1 + 0,155 096 112 742 4;
  • 13) 0,155 096 112 742 4 × 2 = 0 + 0,310 192 225 484 8;
  • 14) 0,310 192 225 484 8 × 2 = 0 + 0,620 384 450 969 6;
  • 15) 0,620 384 450 969 6 × 2 = 1 + 0,240 768 901 939 2;
  • 16) 0,240 768 901 939 2 × 2 = 0 + 0,481 537 803 878 4;
  • 17) 0,481 537 803 878 4 × 2 = 0 + 0,963 075 607 756 8;
  • 18) 0,963 075 607 756 8 × 2 = 1 + 0,926 151 215 513 6;
  • 19) 0,926 151 215 513 6 × 2 = 1 + 0,852 302 431 027 2;
  • 20) 0,852 302 431 027 2 × 2 = 1 + 0,704 604 862 054 4;
  • 21) 0,704 604 862 054 4 × 2 = 1 + 0,409 209 724 108 8;
  • 22) 0,409 209 724 108 8 × 2 = 0 + 0,818 419 448 217 6;
  • 23) 0,818 419 448 217 6 × 2 = 1 + 0,636 838 896 435 2;
  • 24) 0,636 838 896 435 2 × 2 = 1 + 0,273 677 792 870 4;
  • 25) 0,273 677 792 870 4 × 2 = 0 + 0,547 355 585 740 8;
  • 26) 0,547 355 585 740 8 × 2 = 1 + 0,094 711 171 481 6;
  • 27) 0,094 711 171 481 6 × 2 = 0 + 0,189 422 342 963 2;
  • 28) 0,189 422 342 963 2 × 2 = 0 + 0,378 844 685 926 4;
  • 29) 0,378 844 685 926 4 × 2 = 0 + 0,757 689 371 852 8;
  • 30) 0,757 689 371 852 8 × 2 = 1 + 0,515 378 743 705 6;
  • 31) 0,515 378 743 705 6 × 2 = 1 + 0,030 757 487 411 2;
  • 32) 0,030 757 487 411 2 × 2 = 0 + 0,061 514 974 822 4;
  • 33) 0,061 514 974 822 4 × 2 = 0 + 0,123 029 949 644 8;
  • 34) 0,123 029 949 644 8 × 2 = 0 + 0,246 059 899 289 6;
  • 35) 0,246 059 899 289 6 × 2 = 0 + 0,492 119 798 579 2;
  • 36) 0,492 119 798 579 2 × 2 = 0 + 0,984 239 597 158 4;
  • 37) 0,984 239 597 158 4 × 2 = 1 + 0,968 479 194 316 8;
  • 38) 0,968 479 194 316 8 × 2 = 1 + 0,936 958 388 633 6;
  • 39) 0,936 958 388 633 6 × 2 = 1 + 0,873 916 777 267 2;
  • 40) 0,873 916 777 267 2 × 2 = 1 + 0,747 833 554 534 4;
  • 41) 0,747 833 554 534 4 × 2 = 1 + 0,495 667 109 068 8;
  • 42) 0,495 667 109 068 8 × 2 = 0 + 0,991 334 218 137 6;
  • 43) 0,991 334 218 137 6 × 2 = 1 + 0,982 668 436 275 2;
  • 44) 0,982 668 436 275 2 × 2 = 1 + 0,965 336 872 550 4;
  • 45) 0,965 336 872 550 4 × 2 = 1 + 0,930 673 745 100 8;
  • 46) 0,930 673 745 100 8 × 2 = 1 + 0,861 347 490 201 6;
  • 47) 0,861 347 490 201 6 × 2 = 1 + 0,722 694 980 403 2;
  • 48) 0,722 694 980 403 2 × 2 = 1 + 0,445 389 960 806 4;
  • 49) 0,445 389 960 806 4 × 2 = 0 + 0,890 779 921 612 8;
  • 50) 0,890 779 921 612 8 × 2 = 1 + 0,781 559 843 225 6;
  • 51) 0,781 559 843 225 6 × 2 = 1 + 0,563 119 686 451 2;
  • 52) 0,563 119 686 451 2 × 2 = 1 + 0,126 239 372 902 4;
  • 53) 0,126 239 372 902 4 × 2 = 0 + 0,252 478 745 804 8;
  • 54) 0,252 478 745 804 8 × 2 = 0 + 0,504 957 491 609 6;
  • 55) 0,504 957 491 609 6 × 2 = 1 + 0,009 914 983 219 2;
  • 56) 0,009 914 983 219 2 × 2 = 0 + 0,019 829 966 438 4;
  • 57) 0,019 829 966 438 4 × 2 = 0 + 0,039 659 932 876 8;
  • 58) 0,039 659 932 876 8 × 2 = 0 + 0,079 319 865 753 6;
  • 59) 0,079 319 865 753 6 × 2 = 0 + 0,158 639 731 507 2;
  • 60) 0,158 639 731 507 2 × 2 = 0 + 0,317 279 463 014 4;
  • 61) 0,317 279 463 014 4 × 2 = 0 + 0,634 558 926 028 8;
  • 62) 0,634 558 926 028 8 × 2 = 1 + 0,269 117 852 057 6;
  • 63) 0,269 117 852 057 6 × 2 = 0 + 0,538 235 704 115 2;
  • 64) 0,538 235 704 115 2 × 2 = 1 + 0,076 471 408 230 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 886 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 886 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 886 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 886 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1111 1011 1111 0111 0010 0000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 878 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100