-0,000 282 005 888 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 888 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 888 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 888 7| = 0,000 282 005 888 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 888 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 888 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 777 4;
  • 2) 0,000 564 011 777 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 554 8;
  • 3) 0,001 128 023 554 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 109 6;
  • 4) 0,002 256 047 109 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 219 2;
  • 5) 0,004 512 094 219 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 438 4;
  • 6) 0,009 024 188 438 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 876 8;
  • 7) 0,018 048 376 876 8 × 2 = 0 + 0,036 096 753 753 6;
  • 8) 0,036 096 753 753 6 × 2 = 0 + 0,072 193 507 507 2;
  • 9) 0,072 193 507 507 2 × 2 = 0 + 0,144 387 015 014 4;
  • 10) 0,144 387 015 014 4 × 2 = 0 + 0,288 774 030 028 8;
  • 11) 0,288 774 030 028 8 × 2 = 0 + 0,577 548 060 057 6;
  • 12) 0,577 548 060 057 6 × 2 = 1 + 0,155 096 120 115 2;
  • 13) 0,155 096 120 115 2 × 2 = 0 + 0,310 192 240 230 4;
  • 14) 0,310 192 240 230 4 × 2 = 0 + 0,620 384 480 460 8;
  • 15) 0,620 384 480 460 8 × 2 = 1 + 0,240 768 960 921 6;
  • 16) 0,240 768 960 921 6 × 2 = 0 + 0,481 537 921 843 2;
  • 17) 0,481 537 921 843 2 × 2 = 0 + 0,963 075 843 686 4;
  • 18) 0,963 075 843 686 4 × 2 = 1 + 0,926 151 687 372 8;
  • 19) 0,926 151 687 372 8 × 2 = 1 + 0,852 303 374 745 6;
  • 20) 0,852 303 374 745 6 × 2 = 1 + 0,704 606 749 491 2;
  • 21) 0,704 606 749 491 2 × 2 = 1 + 0,409 213 498 982 4;
  • 22) 0,409 213 498 982 4 × 2 = 0 + 0,818 426 997 964 8;
  • 23) 0,818 426 997 964 8 × 2 = 1 + 0,636 853 995 929 6;
  • 24) 0,636 853 995 929 6 × 2 = 1 + 0,273 707 991 859 2;
  • 25) 0,273 707 991 859 2 × 2 = 0 + 0,547 415 983 718 4;
  • 26) 0,547 415 983 718 4 × 2 = 1 + 0,094 831 967 436 8;
  • 27) 0,094 831 967 436 8 × 2 = 0 + 0,189 663 934 873 6;
  • 28) 0,189 663 934 873 6 × 2 = 0 + 0,379 327 869 747 2;
  • 29) 0,379 327 869 747 2 × 2 = 0 + 0,758 655 739 494 4;
  • 30) 0,758 655 739 494 4 × 2 = 1 + 0,517 311 478 988 8;
  • 31) 0,517 311 478 988 8 × 2 = 1 + 0,034 622 957 977 6;
  • 32) 0,034 622 957 977 6 × 2 = 0 + 0,069 245 915 955 2;
  • 33) 0,069 245 915 955 2 × 2 = 0 + 0,138 491 831 910 4;
  • 34) 0,138 491 831 910 4 × 2 = 0 + 0,276 983 663 820 8;
  • 35) 0,276 983 663 820 8 × 2 = 0 + 0,553 967 327 641 6;
  • 36) 0,553 967 327 641 6 × 2 = 1 + 0,107 934 655 283 2;
  • 37) 0,107 934 655 283 2 × 2 = 0 + 0,215 869 310 566 4;
  • 38) 0,215 869 310 566 4 × 2 = 0 + 0,431 738 621 132 8;
  • 39) 0,431 738 621 132 8 × 2 = 0 + 0,863 477 242 265 6;
  • 40) 0,863 477 242 265 6 × 2 = 1 + 0,726 954 484 531 2;
  • 41) 0,726 954 484 531 2 × 2 = 1 + 0,453 908 969 062 4;
  • 42) 0,453 908 969 062 4 × 2 = 0 + 0,907 817 938 124 8;
  • 43) 0,907 817 938 124 8 × 2 = 1 + 0,815 635 876 249 6;
  • 44) 0,815 635 876 249 6 × 2 = 1 + 0,631 271 752 499 2;
  • 45) 0,631 271 752 499 2 × 2 = 1 + 0,262 543 504 998 4;
  • 46) 0,262 543 504 998 4 × 2 = 0 + 0,525 087 009 996 8;
  • 47) 0,525 087 009 996 8 × 2 = 1 + 0,050 174 019 993 6;
  • 48) 0,050 174 019 993 6 × 2 = 0 + 0,100 348 039 987 2;
  • 49) 0,100 348 039 987 2 × 2 = 0 + 0,200 696 079 974 4;
  • 50) 0,200 696 079 974 4 × 2 = 0 + 0,401 392 159 948 8;
  • 51) 0,401 392 159 948 8 × 2 = 0 + 0,802 784 319 897 6;
  • 52) 0,802 784 319 897 6 × 2 = 1 + 0,605 568 639 795 2;
  • 53) 0,605 568 639 795 2 × 2 = 1 + 0,211 137 279 590 4;
  • 54) 0,211 137 279 590 4 × 2 = 0 + 0,422 274 559 180 8;
  • 55) 0,422 274 559 180 8 × 2 = 0 + 0,844 549 118 361 6;
  • 56) 0,844 549 118 361 6 × 2 = 1 + 0,689 098 236 723 2;
  • 57) 0,689 098 236 723 2 × 2 = 1 + 0,378 196 473 446 4;
  • 58) 0,378 196 473 446 4 × 2 = 0 + 0,756 392 946 892 8;
  • 59) 0,756 392 946 892 8 × 2 = 1 + 0,512 785 893 785 6;
  • 60) 0,512 785 893 785 6 × 2 = 1 + 0,025 571 787 571 2;
  • 61) 0,025 571 787 571 2 × 2 = 0 + 0,051 143 575 142 4;
  • 62) 0,051 143 575 142 4 × 2 = 0 + 0,102 287 150 284 8;
  • 63) 0,102 287 150 284 8 × 2 = 0 + 0,204 574 300 569 6;
  • 64) 0,204 574 300 569 6 × 2 = 0 + 0,409 148 601 139 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 888 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 888 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 888 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 888 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0001 1011 1010 0001 1001 1011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 879 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100