-0,000 282 005 890 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 890 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 890 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 890 6| = 0,000 282 005 890 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 890 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 890 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 781 2;
  • 2) 0,000 564 011 781 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 562 4;
  • 3) 0,001 128 023 562 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 124 8;
  • 4) 0,002 256 047 124 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 249 6;
  • 5) 0,004 512 094 249 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 499 2;
  • 6) 0,009 024 188 499 2 × 2 = 0 + 0,018 048 376 998 4;
  • 7) 0,018 048 376 998 4 × 2 = 0 + 0,036 096 753 996 8;
  • 8) 0,036 096 753 996 8 × 2 = 0 + 0,072 193 507 993 6;
  • 9) 0,072 193 507 993 6 × 2 = 0 + 0,144 387 015 987 2;
  • 10) 0,144 387 015 987 2 × 2 = 0 + 0,288 774 031 974 4;
  • 11) 0,288 774 031 974 4 × 2 = 0 + 0,577 548 063 948 8;
  • 12) 0,577 548 063 948 8 × 2 = 1 + 0,155 096 127 897 6;
  • 13) 0,155 096 127 897 6 × 2 = 0 + 0,310 192 255 795 2;
  • 14) 0,310 192 255 795 2 × 2 = 0 + 0,620 384 511 590 4;
  • 15) 0,620 384 511 590 4 × 2 = 1 + 0,240 769 023 180 8;
  • 16) 0,240 769 023 180 8 × 2 = 0 + 0,481 538 046 361 6;
  • 17) 0,481 538 046 361 6 × 2 = 0 + 0,963 076 092 723 2;
  • 18) 0,963 076 092 723 2 × 2 = 1 + 0,926 152 185 446 4;
  • 19) 0,926 152 185 446 4 × 2 = 1 + 0,852 304 370 892 8;
  • 20) 0,852 304 370 892 8 × 2 = 1 + 0,704 608 741 785 6;
  • 21) 0,704 608 741 785 6 × 2 = 1 + 0,409 217 483 571 2;
  • 22) 0,409 217 483 571 2 × 2 = 0 + 0,818 434 967 142 4;
  • 23) 0,818 434 967 142 4 × 2 = 1 + 0,636 869 934 284 8;
  • 24) 0,636 869 934 284 8 × 2 = 1 + 0,273 739 868 569 6;
  • 25) 0,273 739 868 569 6 × 2 = 0 + 0,547 479 737 139 2;
  • 26) 0,547 479 737 139 2 × 2 = 1 + 0,094 959 474 278 4;
  • 27) 0,094 959 474 278 4 × 2 = 0 + 0,189 918 948 556 8;
  • 28) 0,189 918 948 556 8 × 2 = 0 + 0,379 837 897 113 6;
  • 29) 0,379 837 897 113 6 × 2 = 0 + 0,759 675 794 227 2;
  • 30) 0,759 675 794 227 2 × 2 = 1 + 0,519 351 588 454 4;
  • 31) 0,519 351 588 454 4 × 2 = 1 + 0,038 703 176 908 8;
  • 32) 0,038 703 176 908 8 × 2 = 0 + 0,077 406 353 817 6;
  • 33) 0,077 406 353 817 6 × 2 = 0 + 0,154 812 707 635 2;
  • 34) 0,154 812 707 635 2 × 2 = 0 + 0,309 625 415 270 4;
  • 35) 0,309 625 415 270 4 × 2 = 0 + 0,619 250 830 540 8;
  • 36) 0,619 250 830 540 8 × 2 = 1 + 0,238 501 661 081 6;
  • 37) 0,238 501 661 081 6 × 2 = 0 + 0,477 003 322 163 2;
  • 38) 0,477 003 322 163 2 × 2 = 0 + 0,954 006 644 326 4;
  • 39) 0,954 006 644 326 4 × 2 = 1 + 0,908 013 288 652 8;
  • 40) 0,908 013 288 652 8 × 2 = 1 + 0,816 026 577 305 6;
  • 41) 0,816 026 577 305 6 × 2 = 1 + 0,632 053 154 611 2;
  • 42) 0,632 053 154 611 2 × 2 = 1 + 0,264 106 309 222 4;
  • 43) 0,264 106 309 222 4 × 2 = 0 + 0,528 212 618 444 8;
  • 44) 0,528 212 618 444 8 × 2 = 1 + 0,056 425 236 889 6;
  • 45) 0,056 425 236 889 6 × 2 = 0 + 0,112 850 473 779 2;
  • 46) 0,112 850 473 779 2 × 2 = 0 + 0,225 700 947 558 4;
  • 47) 0,225 700 947 558 4 × 2 = 0 + 0,451 401 895 116 8;
  • 48) 0,451 401 895 116 8 × 2 = 0 + 0,902 803 790 233 6;
  • 49) 0,902 803 790 233 6 × 2 = 1 + 0,805 607 580 467 2;
  • 50) 0,805 607 580 467 2 × 2 = 1 + 0,611 215 160 934 4;
  • 51) 0,611 215 160 934 4 × 2 = 1 + 0,222 430 321 868 8;
  • 52) 0,222 430 321 868 8 × 2 = 0 + 0,444 860 643 737 6;
  • 53) 0,444 860 643 737 6 × 2 = 0 + 0,889 721 287 475 2;
  • 54) 0,889 721 287 475 2 × 2 = 1 + 0,779 442 574 950 4;
  • 55) 0,779 442 574 950 4 × 2 = 1 + 0,558 885 149 900 8;
  • 56) 0,558 885 149 900 8 × 2 = 1 + 0,117 770 299 801 6;
  • 57) 0,117 770 299 801 6 × 2 = 0 + 0,235 540 599 603 2;
  • 58) 0,235 540 599 603 2 × 2 = 0 + 0,471 081 199 206 4;
  • 59) 0,471 081 199 206 4 × 2 = 0 + 0,942 162 398 412 8;
  • 60) 0,942 162 398 412 8 × 2 = 1 + 0,884 324 796 825 6;
  • 61) 0,884 324 796 825 6 × 2 = 1 + 0,768 649 593 651 2;
  • 62) 0,768 649 593 651 2 × 2 = 1 + 0,537 299 187 302 4;
  • 63) 0,537 299 187 302 4 × 2 = 1 + 0,074 598 374 604 8;
  • 64) 0,074 598 374 604 8 × 2 = 0 + 0,149 196 749 209 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 890 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 890 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 890 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 890 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0011 1101 0000 1110 0111 0001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 891 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100