-0,000 282 005 892 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 892 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 892 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 892 6| = 0,000 282 005 892 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 892 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 892 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 785 2;
  • 2) 0,000 564 011 785 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 570 4;
  • 3) 0,001 128 023 570 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 140 8;
  • 4) 0,002 256 047 140 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 281 6;
  • 5) 0,004 512 094 281 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 563 2;
  • 6) 0,009 024 188 563 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 126 4;
  • 7) 0,018 048 377 126 4 × 2 = 0 + 0,036 096 754 252 8;
  • 8) 0,036 096 754 252 8 × 2 = 0 + 0,072 193 508 505 6;
  • 9) 0,072 193 508 505 6 × 2 = 0 + 0,144 387 017 011 2;
  • 10) 0,144 387 017 011 2 × 2 = 0 + 0,288 774 034 022 4;
  • 11) 0,288 774 034 022 4 × 2 = 0 + 0,577 548 068 044 8;
  • 12) 0,577 548 068 044 8 × 2 = 1 + 0,155 096 136 089 6;
  • 13) 0,155 096 136 089 6 × 2 = 0 + 0,310 192 272 179 2;
  • 14) 0,310 192 272 179 2 × 2 = 0 + 0,620 384 544 358 4;
  • 15) 0,620 384 544 358 4 × 2 = 1 + 0,240 769 088 716 8;
  • 16) 0,240 769 088 716 8 × 2 = 0 + 0,481 538 177 433 6;
  • 17) 0,481 538 177 433 6 × 2 = 0 + 0,963 076 354 867 2;
  • 18) 0,963 076 354 867 2 × 2 = 1 + 0,926 152 709 734 4;
  • 19) 0,926 152 709 734 4 × 2 = 1 + 0,852 305 419 468 8;
  • 20) 0,852 305 419 468 8 × 2 = 1 + 0,704 610 838 937 6;
  • 21) 0,704 610 838 937 6 × 2 = 1 + 0,409 221 677 875 2;
  • 22) 0,409 221 677 875 2 × 2 = 0 + 0,818 443 355 750 4;
  • 23) 0,818 443 355 750 4 × 2 = 1 + 0,636 886 711 500 8;
  • 24) 0,636 886 711 500 8 × 2 = 1 + 0,273 773 423 001 6;
  • 25) 0,273 773 423 001 6 × 2 = 0 + 0,547 546 846 003 2;
  • 26) 0,547 546 846 003 2 × 2 = 1 + 0,095 093 692 006 4;
  • 27) 0,095 093 692 006 4 × 2 = 0 + 0,190 187 384 012 8;
  • 28) 0,190 187 384 012 8 × 2 = 0 + 0,380 374 768 025 6;
  • 29) 0,380 374 768 025 6 × 2 = 0 + 0,760 749 536 051 2;
  • 30) 0,760 749 536 051 2 × 2 = 1 + 0,521 499 072 102 4;
  • 31) 0,521 499 072 102 4 × 2 = 1 + 0,042 998 144 204 8;
  • 32) 0,042 998 144 204 8 × 2 = 0 + 0,085 996 288 409 6;
  • 33) 0,085 996 288 409 6 × 2 = 0 + 0,171 992 576 819 2;
  • 34) 0,171 992 576 819 2 × 2 = 0 + 0,343 985 153 638 4;
  • 35) 0,343 985 153 638 4 × 2 = 0 + 0,687 970 307 276 8;
  • 36) 0,687 970 307 276 8 × 2 = 1 + 0,375 940 614 553 6;
  • 37) 0,375 940 614 553 6 × 2 = 0 + 0,751 881 229 107 2;
  • 38) 0,751 881 229 107 2 × 2 = 1 + 0,503 762 458 214 4;
  • 39) 0,503 762 458 214 4 × 2 = 1 + 0,007 524 916 428 8;
  • 40) 0,007 524 916 428 8 × 2 = 0 + 0,015 049 832 857 6;
  • 41) 0,015 049 832 857 6 × 2 = 0 + 0,030 099 665 715 2;
  • 42) 0,030 099 665 715 2 × 2 = 0 + 0,060 199 331 430 4;
  • 43) 0,060 199 331 430 4 × 2 = 0 + 0,120 398 662 860 8;
  • 44) 0,120 398 662 860 8 × 2 = 0 + 0,240 797 325 721 6;
  • 45) 0,240 797 325 721 6 × 2 = 0 + 0,481 594 651 443 2;
  • 46) 0,481 594 651 443 2 × 2 = 0 + 0,963 189 302 886 4;
  • 47) 0,963 189 302 886 4 × 2 = 1 + 0,926 378 605 772 8;
  • 48) 0,926 378 605 772 8 × 2 = 1 + 0,852 757 211 545 6;
  • 49) 0,852 757 211 545 6 × 2 = 1 + 0,705 514 423 091 2;
  • 50) 0,705 514 423 091 2 × 2 = 1 + 0,411 028 846 182 4;
  • 51) 0,411 028 846 182 4 × 2 = 0 + 0,822 057 692 364 8;
  • 52) 0,822 057 692 364 8 × 2 = 1 + 0,644 115 384 729 6;
  • 53) 0,644 115 384 729 6 × 2 = 1 + 0,288 230 769 459 2;
  • 54) 0,288 230 769 459 2 × 2 = 0 + 0,576 461 538 918 4;
  • 55) 0,576 461 538 918 4 × 2 = 1 + 0,152 923 077 836 8;
  • 56) 0,152 923 077 836 8 × 2 = 0 + 0,305 846 155 673 6;
  • 57) 0,305 846 155 673 6 × 2 = 0 + 0,611 692 311 347 2;
  • 58) 0,611 692 311 347 2 × 2 = 1 + 0,223 384 622 694 4;
  • 59) 0,223 384 622 694 4 × 2 = 0 + 0,446 769 245 388 8;
  • 60) 0,446 769 245 388 8 × 2 = 0 + 0,893 538 490 777 6;
  • 61) 0,893 538 490 777 6 × 2 = 1 + 0,787 076 981 555 2;
  • 62) 0,787 076 981 555 2 × 2 = 1 + 0,574 153 963 110 4;
  • 63) 0,574 153 963 110 4 × 2 = 1 + 0,148 307 926 220 8;
  • 64) 0,148 307 926 220 8 × 2 = 0 + 0,296 615 852 441 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 892 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 892 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 892 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 892 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0110 0000 0011 1101 1010 0100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 890 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100