-0,000 282 005 895 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 895 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 895 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 895 8| = 0,000 282 005 895 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 895 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 895 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 791 6;
  • 2) 0,000 564 011 791 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 583 2;
  • 3) 0,001 128 023 583 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 166 4;
  • 4) 0,002 256 047 166 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 332 8;
  • 5) 0,004 512 094 332 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 665 6;
  • 6) 0,009 024 188 665 6 × 2 = 0 + 0,018 048 377 331 2;
  • 7) 0,018 048 377 331 2 × 2 = 0 + 0,036 096 754 662 4;
  • 8) 0,036 096 754 662 4 × 2 = 0 + 0,072 193 509 324 8;
  • 9) 0,072 193 509 324 8 × 2 = 0 + 0,144 387 018 649 6;
  • 10) 0,144 387 018 649 6 × 2 = 0 + 0,288 774 037 299 2;
  • 11) 0,288 774 037 299 2 × 2 = 0 + 0,577 548 074 598 4;
  • 12) 0,577 548 074 598 4 × 2 = 1 + 0,155 096 149 196 8;
  • 13) 0,155 096 149 196 8 × 2 = 0 + 0,310 192 298 393 6;
  • 14) 0,310 192 298 393 6 × 2 = 0 + 0,620 384 596 787 2;
  • 15) 0,620 384 596 787 2 × 2 = 1 + 0,240 769 193 574 4;
  • 16) 0,240 769 193 574 4 × 2 = 0 + 0,481 538 387 148 8;
  • 17) 0,481 538 387 148 8 × 2 = 0 + 0,963 076 774 297 6;
  • 18) 0,963 076 774 297 6 × 2 = 1 + 0,926 153 548 595 2;
  • 19) 0,926 153 548 595 2 × 2 = 1 + 0,852 307 097 190 4;
  • 20) 0,852 307 097 190 4 × 2 = 1 + 0,704 614 194 380 8;
  • 21) 0,704 614 194 380 8 × 2 = 1 + 0,409 228 388 761 6;
  • 22) 0,409 228 388 761 6 × 2 = 0 + 0,818 456 777 523 2;
  • 23) 0,818 456 777 523 2 × 2 = 1 + 0,636 913 555 046 4;
  • 24) 0,636 913 555 046 4 × 2 = 1 + 0,273 827 110 092 8;
  • 25) 0,273 827 110 092 8 × 2 = 0 + 0,547 654 220 185 6;
  • 26) 0,547 654 220 185 6 × 2 = 1 + 0,095 308 440 371 2;
  • 27) 0,095 308 440 371 2 × 2 = 0 + 0,190 616 880 742 4;
  • 28) 0,190 616 880 742 4 × 2 = 0 + 0,381 233 761 484 8;
  • 29) 0,381 233 761 484 8 × 2 = 0 + 0,762 467 522 969 6;
  • 30) 0,762 467 522 969 6 × 2 = 1 + 0,524 935 045 939 2;
  • 31) 0,524 935 045 939 2 × 2 = 1 + 0,049 870 091 878 4;
  • 32) 0,049 870 091 878 4 × 2 = 0 + 0,099 740 183 756 8;
  • 33) 0,099 740 183 756 8 × 2 = 0 + 0,199 480 367 513 6;
  • 34) 0,199 480 367 513 6 × 2 = 0 + 0,398 960 735 027 2;
  • 35) 0,398 960 735 027 2 × 2 = 0 + 0,797 921 470 054 4;
  • 36) 0,797 921 470 054 4 × 2 = 1 + 0,595 842 940 108 8;
  • 37) 0,595 842 940 108 8 × 2 = 1 + 0,191 685 880 217 6;
  • 38) 0,191 685 880 217 6 × 2 = 0 + 0,383 371 760 435 2;
  • 39) 0,383 371 760 435 2 × 2 = 0 + 0,766 743 520 870 4;
  • 40) 0,766 743 520 870 4 × 2 = 1 + 0,533 487 041 740 8;
  • 41) 0,533 487 041 740 8 × 2 = 1 + 0,066 974 083 481 6;
  • 42) 0,066 974 083 481 6 × 2 = 0 + 0,133 948 166 963 2;
  • 43) 0,133 948 166 963 2 × 2 = 0 + 0,267 896 333 926 4;
  • 44) 0,267 896 333 926 4 × 2 = 0 + 0,535 792 667 852 8;
  • 45) 0,535 792 667 852 8 × 2 = 1 + 0,071 585 335 705 6;
  • 46) 0,071 585 335 705 6 × 2 = 0 + 0,143 170 671 411 2;
  • 47) 0,143 170 671 411 2 × 2 = 0 + 0,286 341 342 822 4;
  • 48) 0,286 341 342 822 4 × 2 = 0 + 0,572 682 685 644 8;
  • 49) 0,572 682 685 644 8 × 2 = 1 + 0,145 365 371 289 6;
  • 50) 0,145 365 371 289 6 × 2 = 0 + 0,290 730 742 579 2;
  • 51) 0,290 730 742 579 2 × 2 = 0 + 0,581 461 485 158 4;
  • 52) 0,581 461 485 158 4 × 2 = 1 + 0,162 922 970 316 8;
  • 53) 0,162 922 970 316 8 × 2 = 0 + 0,325 845 940 633 6;
  • 54) 0,325 845 940 633 6 × 2 = 0 + 0,651 691 881 267 2;
  • 55) 0,651 691 881 267 2 × 2 = 1 + 0,303 383 762 534 4;
  • 56) 0,303 383 762 534 4 × 2 = 0 + 0,606 767 525 068 8;
  • 57) 0,606 767 525 068 8 × 2 = 1 + 0,213 535 050 137 6;
  • 58) 0,213 535 050 137 6 × 2 = 0 + 0,427 070 100 275 2;
  • 59) 0,427 070 100 275 2 × 2 = 0 + 0,854 140 200 550 4;
  • 60) 0,854 140 200 550 4 × 2 = 1 + 0,708 280 401 100 8;
  • 61) 0,708 280 401 100 8 × 2 = 1 + 0,416 560 802 201 6;
  • 62) 0,416 560 802 201 6 × 2 = 0 + 0,833 121 604 403 2;
  • 63) 0,833 121 604 403 2 × 2 = 1 + 0,666 243 208 806 4;
  • 64) 0,666 243 208 806 4 × 2 = 1 + 0,332 486 417 612 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 895 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 895 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 895 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 895 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1001 1000 1000 1001 0010 1001 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 898 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100