-0,000 282 005 897 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 897 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 897 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 897 2| = 0,000 282 005 897 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 897 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 897 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 794 4;
  • 2) 0,000 564 011 794 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 588 8;
  • 3) 0,001 128 023 588 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 177 6;
  • 4) 0,002 256 047 177 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 355 2;
  • 5) 0,004 512 094 355 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 710 4;
  • 6) 0,009 024 188 710 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 420 8;
  • 7) 0,018 048 377 420 8 × 2 = 0 + 0,036 096 754 841 6;
  • 8) 0,036 096 754 841 6 × 2 = 0 + 0,072 193 509 683 2;
  • 9) 0,072 193 509 683 2 × 2 = 0 + 0,144 387 019 366 4;
  • 10) 0,144 387 019 366 4 × 2 = 0 + 0,288 774 038 732 8;
  • 11) 0,288 774 038 732 8 × 2 = 0 + 0,577 548 077 465 6;
  • 12) 0,577 548 077 465 6 × 2 = 1 + 0,155 096 154 931 2;
  • 13) 0,155 096 154 931 2 × 2 = 0 + 0,310 192 309 862 4;
  • 14) 0,310 192 309 862 4 × 2 = 0 + 0,620 384 619 724 8;
  • 15) 0,620 384 619 724 8 × 2 = 1 + 0,240 769 239 449 6;
  • 16) 0,240 769 239 449 6 × 2 = 0 + 0,481 538 478 899 2;
  • 17) 0,481 538 478 899 2 × 2 = 0 + 0,963 076 957 798 4;
  • 18) 0,963 076 957 798 4 × 2 = 1 + 0,926 153 915 596 8;
  • 19) 0,926 153 915 596 8 × 2 = 1 + 0,852 307 831 193 6;
  • 20) 0,852 307 831 193 6 × 2 = 1 + 0,704 615 662 387 2;
  • 21) 0,704 615 662 387 2 × 2 = 1 + 0,409 231 324 774 4;
  • 22) 0,409 231 324 774 4 × 2 = 0 + 0,818 462 649 548 8;
  • 23) 0,818 462 649 548 8 × 2 = 1 + 0,636 925 299 097 6;
  • 24) 0,636 925 299 097 6 × 2 = 1 + 0,273 850 598 195 2;
  • 25) 0,273 850 598 195 2 × 2 = 0 + 0,547 701 196 390 4;
  • 26) 0,547 701 196 390 4 × 2 = 1 + 0,095 402 392 780 8;
  • 27) 0,095 402 392 780 8 × 2 = 0 + 0,190 804 785 561 6;
  • 28) 0,190 804 785 561 6 × 2 = 0 + 0,381 609 571 123 2;
  • 29) 0,381 609 571 123 2 × 2 = 0 + 0,763 219 142 246 4;
  • 30) 0,763 219 142 246 4 × 2 = 1 + 0,526 438 284 492 8;
  • 31) 0,526 438 284 492 8 × 2 = 1 + 0,052 876 568 985 6;
  • 32) 0,052 876 568 985 6 × 2 = 0 + 0,105 753 137 971 2;
  • 33) 0,105 753 137 971 2 × 2 = 0 + 0,211 506 275 942 4;
  • 34) 0,211 506 275 942 4 × 2 = 0 + 0,423 012 551 884 8;
  • 35) 0,423 012 551 884 8 × 2 = 0 + 0,846 025 103 769 6;
  • 36) 0,846 025 103 769 6 × 2 = 1 + 0,692 050 207 539 2;
  • 37) 0,692 050 207 539 2 × 2 = 1 + 0,384 100 415 078 4;
  • 38) 0,384 100 415 078 4 × 2 = 0 + 0,768 200 830 156 8;
  • 39) 0,768 200 830 156 8 × 2 = 1 + 0,536 401 660 313 6;
  • 40) 0,536 401 660 313 6 × 2 = 1 + 0,072 803 320 627 2;
  • 41) 0,072 803 320 627 2 × 2 = 0 + 0,145 606 641 254 4;
  • 42) 0,145 606 641 254 4 × 2 = 0 + 0,291 213 282 508 8;
  • 43) 0,291 213 282 508 8 × 2 = 0 + 0,582 426 565 017 6;
  • 44) 0,582 426 565 017 6 × 2 = 1 + 0,164 853 130 035 2;
  • 45) 0,164 853 130 035 2 × 2 = 0 + 0,329 706 260 070 4;
  • 46) 0,329 706 260 070 4 × 2 = 0 + 0,659 412 520 140 8;
  • 47) 0,659 412 520 140 8 × 2 = 1 + 0,318 825 040 281 6;
  • 48) 0,318 825 040 281 6 × 2 = 0 + 0,637 650 080 563 2;
  • 49) 0,637 650 080 563 2 × 2 = 1 + 0,275 300 161 126 4;
  • 50) 0,275 300 161 126 4 × 2 = 0 + 0,550 600 322 252 8;
  • 51) 0,550 600 322 252 8 × 2 = 1 + 0,101 200 644 505 6;
  • 52) 0,101 200 644 505 6 × 2 = 0 + 0,202 401 289 011 2;
  • 53) 0,202 401 289 011 2 × 2 = 0 + 0,404 802 578 022 4;
  • 54) 0,404 802 578 022 4 × 2 = 0 + 0,809 605 156 044 8;
  • 55) 0,809 605 156 044 8 × 2 = 1 + 0,619 210 312 089 6;
  • 56) 0,619 210 312 089 6 × 2 = 1 + 0,238 420 624 179 2;
  • 57) 0,238 420 624 179 2 × 2 = 0 + 0,476 841 248 358 4;
  • 58) 0,476 841 248 358 4 × 2 = 0 + 0,953 682 496 716 8;
  • 59) 0,953 682 496 716 8 × 2 = 1 + 0,907 364 993 433 6;
  • 60) 0,907 364 993 433 6 × 2 = 1 + 0,814 729 986 867 2;
  • 61) 0,814 729 986 867 2 × 2 = 1 + 0,629 459 973 734 4;
  • 62) 0,629 459 973 734 4 × 2 = 1 + 0,258 919 947 468 8;
  • 63) 0,258 919 947 468 8 × 2 = 0 + 0,517 839 894 937 6;
  • 64) 0,517 839 894 937 6 × 2 = 1 + 0,035 679 789 875 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 897 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 897 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 897 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 897 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1011 0001 0010 1010 0011 0011 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 904 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100