-0,000 282 005 898 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 898 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 898 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 898 2| = 0,000 282 005 898 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 898 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 898 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 796 4;
  • 2) 0,000 564 011 796 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 592 8;
  • 3) 0,001 128 023 592 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 185 6;
  • 4) 0,002 256 047 185 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 371 2;
  • 5) 0,004 512 094 371 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 742 4;
  • 6) 0,009 024 188 742 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 484 8;
  • 7) 0,018 048 377 484 8 × 2 = 0 + 0,036 096 754 969 6;
  • 8) 0,036 096 754 969 6 × 2 = 0 + 0,072 193 509 939 2;
  • 9) 0,072 193 509 939 2 × 2 = 0 + 0,144 387 019 878 4;
  • 10) 0,144 387 019 878 4 × 2 = 0 + 0,288 774 039 756 8;
  • 11) 0,288 774 039 756 8 × 2 = 0 + 0,577 548 079 513 6;
  • 12) 0,577 548 079 513 6 × 2 = 1 + 0,155 096 159 027 2;
  • 13) 0,155 096 159 027 2 × 2 = 0 + 0,310 192 318 054 4;
  • 14) 0,310 192 318 054 4 × 2 = 0 + 0,620 384 636 108 8;
  • 15) 0,620 384 636 108 8 × 2 = 1 + 0,240 769 272 217 6;
  • 16) 0,240 769 272 217 6 × 2 = 0 + 0,481 538 544 435 2;
  • 17) 0,481 538 544 435 2 × 2 = 0 + 0,963 077 088 870 4;
  • 18) 0,963 077 088 870 4 × 2 = 1 + 0,926 154 177 740 8;
  • 19) 0,926 154 177 740 8 × 2 = 1 + 0,852 308 355 481 6;
  • 20) 0,852 308 355 481 6 × 2 = 1 + 0,704 616 710 963 2;
  • 21) 0,704 616 710 963 2 × 2 = 1 + 0,409 233 421 926 4;
  • 22) 0,409 233 421 926 4 × 2 = 0 + 0,818 466 843 852 8;
  • 23) 0,818 466 843 852 8 × 2 = 1 + 0,636 933 687 705 6;
  • 24) 0,636 933 687 705 6 × 2 = 1 + 0,273 867 375 411 2;
  • 25) 0,273 867 375 411 2 × 2 = 0 + 0,547 734 750 822 4;
  • 26) 0,547 734 750 822 4 × 2 = 1 + 0,095 469 501 644 8;
  • 27) 0,095 469 501 644 8 × 2 = 0 + 0,190 939 003 289 6;
  • 28) 0,190 939 003 289 6 × 2 = 0 + 0,381 878 006 579 2;
  • 29) 0,381 878 006 579 2 × 2 = 0 + 0,763 756 013 158 4;
  • 30) 0,763 756 013 158 4 × 2 = 1 + 0,527 512 026 316 8;
  • 31) 0,527 512 026 316 8 × 2 = 1 + 0,055 024 052 633 6;
  • 32) 0,055 024 052 633 6 × 2 = 0 + 0,110 048 105 267 2;
  • 33) 0,110 048 105 267 2 × 2 = 0 + 0,220 096 210 534 4;
  • 34) 0,220 096 210 534 4 × 2 = 0 + 0,440 192 421 068 8;
  • 35) 0,440 192 421 068 8 × 2 = 0 + 0,880 384 842 137 6;
  • 36) 0,880 384 842 137 6 × 2 = 1 + 0,760 769 684 275 2;
  • 37) 0,760 769 684 275 2 × 2 = 1 + 0,521 539 368 550 4;
  • 38) 0,521 539 368 550 4 × 2 = 1 + 0,043 078 737 100 8;
  • 39) 0,043 078 737 100 8 × 2 = 0 + 0,086 157 474 201 6;
  • 40) 0,086 157 474 201 6 × 2 = 0 + 0,172 314 948 403 2;
  • 41) 0,172 314 948 403 2 × 2 = 0 + 0,344 629 896 806 4;
  • 42) 0,344 629 896 806 4 × 2 = 0 + 0,689 259 793 612 8;
  • 43) 0,689 259 793 612 8 × 2 = 1 + 0,378 519 587 225 6;
  • 44) 0,378 519 587 225 6 × 2 = 0 + 0,757 039 174 451 2;
  • 45) 0,757 039 174 451 2 × 2 = 1 + 0,514 078 348 902 4;
  • 46) 0,514 078 348 902 4 × 2 = 1 + 0,028 156 697 804 8;
  • 47) 0,028 156 697 804 8 × 2 = 0 + 0,056 313 395 609 6;
  • 48) 0,056 313 395 609 6 × 2 = 0 + 0,112 626 791 219 2;
  • 49) 0,112 626 791 219 2 × 2 = 0 + 0,225 253 582 438 4;
  • 50) 0,225 253 582 438 4 × 2 = 0 + 0,450 507 164 876 8;
  • 51) 0,450 507 164 876 8 × 2 = 0 + 0,901 014 329 753 6;
  • 52) 0,901 014 329 753 6 × 2 = 1 + 0,802 028 659 507 2;
  • 53) 0,802 028 659 507 2 × 2 = 1 + 0,604 057 319 014 4;
  • 54) 0,604 057 319 014 4 × 2 = 1 + 0,208 114 638 028 8;
  • 55) 0,208 114 638 028 8 × 2 = 0 + 0,416 229 276 057 6;
  • 56) 0,416 229 276 057 6 × 2 = 0 + 0,832 458 552 115 2;
  • 57) 0,832 458 552 115 2 × 2 = 1 + 0,664 917 104 230 4;
  • 58) 0,664 917 104 230 4 × 2 = 1 + 0,329 834 208 460 8;
  • 59) 0,329 834 208 460 8 × 2 = 0 + 0,659 668 416 921 6;
  • 60) 0,659 668 416 921 6 × 2 = 1 + 0,319 336 833 843 2;
  • 61) 0,319 336 833 843 2 × 2 = 0 + 0,638 673 667 686 4;
  • 62) 0,638 673 667 686 4 × 2 = 1 + 0,277 347 335 372 8;
  • 63) 0,277 347 335 372 8 × 2 = 0 + 0,554 694 670 745 6;
  • 64) 0,554 694 670 745 6 × 2 = 1 + 0,109 389 341 491 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 898 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 898 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 898 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 898 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 0010 1100 0001 1100 1101 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 900 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100