-0,000 282 005 898 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 898 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 898 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 898 6| = 0,000 282 005 898 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 898 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 898 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 797 2;
  • 2) 0,000 564 011 797 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 594 4;
  • 3) 0,001 128 023 594 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 188 8;
  • 4) 0,002 256 047 188 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 377 6;
  • 5) 0,004 512 094 377 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 755 2;
  • 6) 0,009 024 188 755 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 510 4;
  • 7) 0,018 048 377 510 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 020 8;
  • 8) 0,036 096 755 020 8 × 2 = 0 + 0,072 193 510 041 6;
  • 9) 0,072 193 510 041 6 × 2 = 0 + 0,144 387 020 083 2;
  • 10) 0,144 387 020 083 2 × 2 = 0 + 0,288 774 040 166 4;
  • 11) 0,288 774 040 166 4 × 2 = 0 + 0,577 548 080 332 8;
  • 12) 0,577 548 080 332 8 × 2 = 1 + 0,155 096 160 665 6;
  • 13) 0,155 096 160 665 6 × 2 = 0 + 0,310 192 321 331 2;
  • 14) 0,310 192 321 331 2 × 2 = 0 + 0,620 384 642 662 4;
  • 15) 0,620 384 642 662 4 × 2 = 1 + 0,240 769 285 324 8;
  • 16) 0,240 769 285 324 8 × 2 = 0 + 0,481 538 570 649 6;
  • 17) 0,481 538 570 649 6 × 2 = 0 + 0,963 077 141 299 2;
  • 18) 0,963 077 141 299 2 × 2 = 1 + 0,926 154 282 598 4;
  • 19) 0,926 154 282 598 4 × 2 = 1 + 0,852 308 565 196 8;
  • 20) 0,852 308 565 196 8 × 2 = 1 + 0,704 617 130 393 6;
  • 21) 0,704 617 130 393 6 × 2 = 1 + 0,409 234 260 787 2;
  • 22) 0,409 234 260 787 2 × 2 = 0 + 0,818 468 521 574 4;
  • 23) 0,818 468 521 574 4 × 2 = 1 + 0,636 937 043 148 8;
  • 24) 0,636 937 043 148 8 × 2 = 1 + 0,273 874 086 297 6;
  • 25) 0,273 874 086 297 6 × 2 = 0 + 0,547 748 172 595 2;
  • 26) 0,547 748 172 595 2 × 2 = 1 + 0,095 496 345 190 4;
  • 27) 0,095 496 345 190 4 × 2 = 0 + 0,190 992 690 380 8;
  • 28) 0,190 992 690 380 8 × 2 = 0 + 0,381 985 380 761 6;
  • 29) 0,381 985 380 761 6 × 2 = 0 + 0,763 970 761 523 2;
  • 30) 0,763 970 761 523 2 × 2 = 1 + 0,527 941 523 046 4;
  • 31) 0,527 941 523 046 4 × 2 = 1 + 0,055 883 046 092 8;
  • 32) 0,055 883 046 092 8 × 2 = 0 + 0,111 766 092 185 6;
  • 33) 0,111 766 092 185 6 × 2 = 0 + 0,223 532 184 371 2;
  • 34) 0,223 532 184 371 2 × 2 = 0 + 0,447 064 368 742 4;
  • 35) 0,447 064 368 742 4 × 2 = 0 + 0,894 128 737 484 8;
  • 36) 0,894 128 737 484 8 × 2 = 1 + 0,788 257 474 969 6;
  • 37) 0,788 257 474 969 6 × 2 = 1 + 0,576 514 949 939 2;
  • 38) 0,576 514 949 939 2 × 2 = 1 + 0,153 029 899 878 4;
  • 39) 0,153 029 899 878 4 × 2 = 0 + 0,306 059 799 756 8;
  • 40) 0,306 059 799 756 8 × 2 = 0 + 0,612 119 599 513 6;
  • 41) 0,612 119 599 513 6 × 2 = 1 + 0,224 239 199 027 2;
  • 42) 0,224 239 199 027 2 × 2 = 0 + 0,448 478 398 054 4;
  • 43) 0,448 478 398 054 4 × 2 = 0 + 0,896 956 796 108 8;
  • 44) 0,896 956 796 108 8 × 2 = 1 + 0,793 913 592 217 6;
  • 45) 0,793 913 592 217 6 × 2 = 1 + 0,587 827 184 435 2;
  • 46) 0,587 827 184 435 2 × 2 = 1 + 0,175 654 368 870 4;
  • 47) 0,175 654 368 870 4 × 2 = 0 + 0,351 308 737 740 8;
  • 48) 0,351 308 737 740 8 × 2 = 0 + 0,702 617 475 481 6;
  • 49) 0,702 617 475 481 6 × 2 = 1 + 0,405 234 950 963 2;
  • 50) 0,405 234 950 963 2 × 2 = 0 + 0,810 469 901 926 4;
  • 51) 0,810 469 901 926 4 × 2 = 1 + 0,620 939 803 852 8;
  • 52) 0,620 939 803 852 8 × 2 = 1 + 0,241 879 607 705 6;
  • 53) 0,241 879 607 705 6 × 2 = 0 + 0,483 759 215 411 2;
  • 54) 0,483 759 215 411 2 × 2 = 0 + 0,967 518 430 822 4;
  • 55) 0,967 518 430 822 4 × 2 = 1 + 0,935 036 861 644 8;
  • 56) 0,935 036 861 644 8 × 2 = 1 + 0,870 073 723 289 6;
  • 57) 0,870 073 723 289 6 × 2 = 1 + 0,740 147 446 579 2;
  • 58) 0,740 147 446 579 2 × 2 = 1 + 0,480 294 893 158 4;
  • 59) 0,480 294 893 158 4 × 2 = 0 + 0,960 589 786 316 8;
  • 60) 0,960 589 786 316 8 × 2 = 1 + 0,921 179 572 633 6;
  • 61) 0,921 179 572 633 6 × 2 = 1 + 0,842 359 145 267 2;
  • 62) 0,842 359 145 267 2 × 2 = 1 + 0,684 718 290 534 4;
  • 63) 0,684 718 290 534 4 × 2 = 1 + 0,369 436 581 068 8;
  • 64) 0,369 436 581 068 8 × 2 = 0 + 0,738 873 162 137 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 898 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 898 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 898 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 898 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1100 1001 1100 1011 0011 1101 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 907 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100