-0,000 282 005 899 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 899 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 899 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 899 3| = 0,000 282 005 899 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 899 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 899 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 798 6;
  • 2) 0,000 564 011 798 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 597 2;
  • 3) 0,001 128 023 597 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 194 4;
  • 4) 0,002 256 047 194 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 388 8;
  • 5) 0,004 512 094 388 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 777 6;
  • 6) 0,009 024 188 777 6 × 2 = 0 + 0,018 048 377 555 2;
  • 7) 0,018 048 377 555 2 × 2 = 0 + 0,036 096 755 110 4;
  • 8) 0,036 096 755 110 4 × 2 = 0 + 0,072 193 510 220 8;
  • 9) 0,072 193 510 220 8 × 2 = 0 + 0,144 387 020 441 6;
  • 10) 0,144 387 020 441 6 × 2 = 0 + 0,288 774 040 883 2;
  • 11) 0,288 774 040 883 2 × 2 = 0 + 0,577 548 081 766 4;
  • 12) 0,577 548 081 766 4 × 2 = 1 + 0,155 096 163 532 8;
  • 13) 0,155 096 163 532 8 × 2 = 0 + 0,310 192 327 065 6;
  • 14) 0,310 192 327 065 6 × 2 = 0 + 0,620 384 654 131 2;
  • 15) 0,620 384 654 131 2 × 2 = 1 + 0,240 769 308 262 4;
  • 16) 0,240 769 308 262 4 × 2 = 0 + 0,481 538 616 524 8;
  • 17) 0,481 538 616 524 8 × 2 = 0 + 0,963 077 233 049 6;
  • 18) 0,963 077 233 049 6 × 2 = 1 + 0,926 154 466 099 2;
  • 19) 0,926 154 466 099 2 × 2 = 1 + 0,852 308 932 198 4;
  • 20) 0,852 308 932 198 4 × 2 = 1 + 0,704 617 864 396 8;
  • 21) 0,704 617 864 396 8 × 2 = 1 + 0,409 235 728 793 6;
  • 22) 0,409 235 728 793 6 × 2 = 0 + 0,818 471 457 587 2;
  • 23) 0,818 471 457 587 2 × 2 = 1 + 0,636 942 915 174 4;
  • 24) 0,636 942 915 174 4 × 2 = 1 + 0,273 885 830 348 8;
  • 25) 0,273 885 830 348 8 × 2 = 0 + 0,547 771 660 697 6;
  • 26) 0,547 771 660 697 6 × 2 = 1 + 0,095 543 321 395 2;
  • 27) 0,095 543 321 395 2 × 2 = 0 + 0,191 086 642 790 4;
  • 28) 0,191 086 642 790 4 × 2 = 0 + 0,382 173 285 580 8;
  • 29) 0,382 173 285 580 8 × 2 = 0 + 0,764 346 571 161 6;
  • 30) 0,764 346 571 161 6 × 2 = 1 + 0,528 693 142 323 2;
  • 31) 0,528 693 142 323 2 × 2 = 1 + 0,057 386 284 646 4;
  • 32) 0,057 386 284 646 4 × 2 = 0 + 0,114 772 569 292 8;
  • 33) 0,114 772 569 292 8 × 2 = 0 + 0,229 545 138 585 6;
  • 34) 0,229 545 138 585 6 × 2 = 0 + 0,459 090 277 171 2;
  • 35) 0,459 090 277 171 2 × 2 = 0 + 0,918 180 554 342 4;
  • 36) 0,918 180 554 342 4 × 2 = 1 + 0,836 361 108 684 8;
  • 37) 0,836 361 108 684 8 × 2 = 1 + 0,672 722 217 369 6;
  • 38) 0,672 722 217 369 6 × 2 = 1 + 0,345 444 434 739 2;
  • 39) 0,345 444 434 739 2 × 2 = 0 + 0,690 888 869 478 4;
  • 40) 0,690 888 869 478 4 × 2 = 1 + 0,381 777 738 956 8;
  • 41) 0,381 777 738 956 8 × 2 = 0 + 0,763 555 477 913 6;
  • 42) 0,763 555 477 913 6 × 2 = 1 + 0,527 110 955 827 2;
  • 43) 0,527 110 955 827 2 × 2 = 1 + 0,054 221 911 654 4;
  • 44) 0,054 221 911 654 4 × 2 = 0 + 0,108 443 823 308 8;
  • 45) 0,108 443 823 308 8 × 2 = 0 + 0,216 887 646 617 6;
  • 46) 0,216 887 646 617 6 × 2 = 0 + 0,433 775 293 235 2;
  • 47) 0,433 775 293 235 2 × 2 = 0 + 0,867 550 586 470 4;
  • 48) 0,867 550 586 470 4 × 2 = 1 + 0,735 101 172 940 8;
  • 49) 0,735 101 172 940 8 × 2 = 1 + 0,470 202 345 881 6;
  • 50) 0,470 202 345 881 6 × 2 = 0 + 0,940 404 691 763 2;
  • 51) 0,940 404 691 763 2 × 2 = 1 + 0,880 809 383 526 4;
  • 52) 0,880 809 383 526 4 × 2 = 1 + 0,761 618 767 052 8;
  • 53) 0,761 618 767 052 8 × 2 = 1 + 0,523 237 534 105 6;
  • 54) 0,523 237 534 105 6 × 2 = 1 + 0,046 475 068 211 2;
  • 55) 0,046 475 068 211 2 × 2 = 0 + 0,092 950 136 422 4;
  • 56) 0,092 950 136 422 4 × 2 = 0 + 0,185 900 272 844 8;
  • 57) 0,185 900 272 844 8 × 2 = 0 + 0,371 800 545 689 6;
  • 58) 0,371 800 545 689 6 × 2 = 0 + 0,743 601 091 379 2;
  • 59) 0,743 601 091 379 2 × 2 = 1 + 0,487 202 182 758 4;
  • 60) 0,487 202 182 758 4 × 2 = 0 + 0,974 404 365 516 8;
  • 61) 0,974 404 365 516 8 × 2 = 1 + 0,948 808 731 033 6;
  • 62) 0,948 808 731 033 6 × 2 = 1 + 0,897 617 462 067 2;
  • 63) 0,897 617 462 067 2 × 2 = 1 + 0,795 234 924 134 4;
  • 64) 0,795 234 924 134 4 × 2 = 1 + 0,590 469 848 268 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 899 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 899 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 899 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 899 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1101 0110 0001 1011 1100 0010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 903 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100