-0,000 282 005 900 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 900 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 900 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 900 1| = 0,000 282 005 900 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 900 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 900 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 800 2;
  • 2) 0,000 564 011 800 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 600 4;
  • 3) 0,001 128 023 600 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 200 8;
  • 4) 0,002 256 047 200 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 401 6;
  • 5) 0,004 512 094 401 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 803 2;
  • 6) 0,009 024 188 803 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 606 4;
  • 7) 0,018 048 377 606 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 212 8;
  • 8) 0,036 096 755 212 8 × 2 = 0 + 0,072 193 510 425 6;
  • 9) 0,072 193 510 425 6 × 2 = 0 + 0,144 387 020 851 2;
  • 10) 0,144 387 020 851 2 × 2 = 0 + 0,288 774 041 702 4;
  • 11) 0,288 774 041 702 4 × 2 = 0 + 0,577 548 083 404 8;
  • 12) 0,577 548 083 404 8 × 2 = 1 + 0,155 096 166 809 6;
  • 13) 0,155 096 166 809 6 × 2 = 0 + 0,310 192 333 619 2;
  • 14) 0,310 192 333 619 2 × 2 = 0 + 0,620 384 667 238 4;
  • 15) 0,620 384 667 238 4 × 2 = 1 + 0,240 769 334 476 8;
  • 16) 0,240 769 334 476 8 × 2 = 0 + 0,481 538 668 953 6;
  • 17) 0,481 538 668 953 6 × 2 = 0 + 0,963 077 337 907 2;
  • 18) 0,963 077 337 907 2 × 2 = 1 + 0,926 154 675 814 4;
  • 19) 0,926 154 675 814 4 × 2 = 1 + 0,852 309 351 628 8;
  • 20) 0,852 309 351 628 8 × 2 = 1 + 0,704 618 703 257 6;
  • 21) 0,704 618 703 257 6 × 2 = 1 + 0,409 237 406 515 2;
  • 22) 0,409 237 406 515 2 × 2 = 0 + 0,818 474 813 030 4;
  • 23) 0,818 474 813 030 4 × 2 = 1 + 0,636 949 626 060 8;
  • 24) 0,636 949 626 060 8 × 2 = 1 + 0,273 899 252 121 6;
  • 25) 0,273 899 252 121 6 × 2 = 0 + 0,547 798 504 243 2;
  • 26) 0,547 798 504 243 2 × 2 = 1 + 0,095 597 008 486 4;
  • 27) 0,095 597 008 486 4 × 2 = 0 + 0,191 194 016 972 8;
  • 28) 0,191 194 016 972 8 × 2 = 0 + 0,382 388 033 945 6;
  • 29) 0,382 388 033 945 6 × 2 = 0 + 0,764 776 067 891 2;
  • 30) 0,764 776 067 891 2 × 2 = 1 + 0,529 552 135 782 4;
  • 31) 0,529 552 135 782 4 × 2 = 1 + 0,059 104 271 564 8;
  • 32) 0,059 104 271 564 8 × 2 = 0 + 0,118 208 543 129 6;
  • 33) 0,118 208 543 129 6 × 2 = 0 + 0,236 417 086 259 2;
  • 34) 0,236 417 086 259 2 × 2 = 0 + 0,472 834 172 518 4;
  • 35) 0,472 834 172 518 4 × 2 = 0 + 0,945 668 345 036 8;
  • 36) 0,945 668 345 036 8 × 2 = 1 + 0,891 336 690 073 6;
  • 37) 0,891 336 690 073 6 × 2 = 1 + 0,782 673 380 147 2;
  • 38) 0,782 673 380 147 2 × 2 = 1 + 0,565 346 760 294 4;
  • 39) 0,565 346 760 294 4 × 2 = 1 + 0,130 693 520 588 8;
  • 40) 0,130 693 520 588 8 × 2 = 0 + 0,261 387 041 177 6;
  • 41) 0,261 387 041 177 6 × 2 = 0 + 0,522 774 082 355 2;
  • 42) 0,522 774 082 355 2 × 2 = 1 + 0,045 548 164 710 4;
  • 43) 0,045 548 164 710 4 × 2 = 0 + 0,091 096 329 420 8;
  • 44) 0,091 096 329 420 8 × 2 = 0 + 0,182 192 658 841 6;
  • 45) 0,182 192 658 841 6 × 2 = 0 + 0,364 385 317 683 2;
  • 46) 0,364 385 317 683 2 × 2 = 0 + 0,728 770 635 366 4;
  • 47) 0,728 770 635 366 4 × 2 = 1 + 0,457 541 270 732 8;
  • 48) 0,457 541 270 732 8 × 2 = 0 + 0,915 082 541 465 6;
  • 49) 0,915 082 541 465 6 × 2 = 1 + 0,830 165 082 931 2;
  • 50) 0,830 165 082 931 2 × 2 = 1 + 0,660 330 165 862 4;
  • 51) 0,660 330 165 862 4 × 2 = 1 + 0,320 660 331 724 8;
  • 52) 0,320 660 331 724 8 × 2 = 0 + 0,641 320 663 449 6;
  • 53) 0,641 320 663 449 6 × 2 = 1 + 0,282 641 326 899 2;
  • 54) 0,282 641 326 899 2 × 2 = 0 + 0,565 282 653 798 4;
  • 55) 0,565 282 653 798 4 × 2 = 1 + 0,130 565 307 596 8;
  • 56) 0,130 565 307 596 8 × 2 = 0 + 0,261 130 615 193 6;
  • 57) 0,261 130 615 193 6 × 2 = 0 + 0,522 261 230 387 2;
  • 58) 0,522 261 230 387 2 × 2 = 1 + 0,044 522 460 774 4;
  • 59) 0,044 522 460 774 4 × 2 = 0 + 0,089 044 921 548 8;
  • 60) 0,089 044 921 548 8 × 2 = 0 + 0,178 089 843 097 6;
  • 61) 0,178 089 843 097 6 × 2 = 0 + 0,356 179 686 195 2;
  • 62) 0,356 179 686 195 2 × 2 = 0 + 0,712 359 372 390 4;
  • 63) 0,712 359 372 390 4 × 2 = 1 + 0,424 718 744 780 8;
  • 64) 0,424 718 744 780 8 × 2 = 0 + 0,849 437 489 561 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 900 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 900 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 900 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 900 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 1110 0100 0010 1110 1010 0100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 899 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100