-0,000 282 005 902 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 902 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 902 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 902 2| = 0,000 282 005 902 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 902 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 902 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 804 4;
  • 2) 0,000 564 011 804 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 608 8;
  • 3) 0,001 128 023 608 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 217 6;
  • 4) 0,002 256 047 217 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 435 2;
  • 5) 0,004 512 094 435 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 870 4;
  • 6) 0,009 024 188 870 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 740 8;
  • 7) 0,018 048 377 740 8 × 2 = 0 + 0,036 096 755 481 6;
  • 8) 0,036 096 755 481 6 × 2 = 0 + 0,072 193 510 963 2;
  • 9) 0,072 193 510 963 2 × 2 = 0 + 0,144 387 021 926 4;
  • 10) 0,144 387 021 926 4 × 2 = 0 + 0,288 774 043 852 8;
  • 11) 0,288 774 043 852 8 × 2 = 0 + 0,577 548 087 705 6;
  • 12) 0,577 548 087 705 6 × 2 = 1 + 0,155 096 175 411 2;
  • 13) 0,155 096 175 411 2 × 2 = 0 + 0,310 192 350 822 4;
  • 14) 0,310 192 350 822 4 × 2 = 0 + 0,620 384 701 644 8;
  • 15) 0,620 384 701 644 8 × 2 = 1 + 0,240 769 403 289 6;
  • 16) 0,240 769 403 289 6 × 2 = 0 + 0,481 538 806 579 2;
  • 17) 0,481 538 806 579 2 × 2 = 0 + 0,963 077 613 158 4;
  • 18) 0,963 077 613 158 4 × 2 = 1 + 0,926 155 226 316 8;
  • 19) 0,926 155 226 316 8 × 2 = 1 + 0,852 310 452 633 6;
  • 20) 0,852 310 452 633 6 × 2 = 1 + 0,704 620 905 267 2;
  • 21) 0,704 620 905 267 2 × 2 = 1 + 0,409 241 810 534 4;
  • 22) 0,409 241 810 534 4 × 2 = 0 + 0,818 483 621 068 8;
  • 23) 0,818 483 621 068 8 × 2 = 1 + 0,636 967 242 137 6;
  • 24) 0,636 967 242 137 6 × 2 = 1 + 0,273 934 484 275 2;
  • 25) 0,273 934 484 275 2 × 2 = 0 + 0,547 868 968 550 4;
  • 26) 0,547 868 968 550 4 × 2 = 1 + 0,095 737 937 100 8;
  • 27) 0,095 737 937 100 8 × 2 = 0 + 0,191 475 874 201 6;
  • 28) 0,191 475 874 201 6 × 2 = 0 + 0,382 951 748 403 2;
  • 29) 0,382 951 748 403 2 × 2 = 0 + 0,765 903 496 806 4;
  • 30) 0,765 903 496 806 4 × 2 = 1 + 0,531 806 993 612 8;
  • 31) 0,531 806 993 612 8 × 2 = 1 + 0,063 613 987 225 6;
  • 32) 0,063 613 987 225 6 × 2 = 0 + 0,127 227 974 451 2;
  • 33) 0,127 227 974 451 2 × 2 = 0 + 0,254 455 948 902 4;
  • 34) 0,254 455 948 902 4 × 2 = 0 + 0,508 911 897 804 8;
  • 35) 0,508 911 897 804 8 × 2 = 1 + 0,017 823 795 609 6;
  • 36) 0,017 823 795 609 6 × 2 = 0 + 0,035 647 591 219 2;
  • 37) 0,035 647 591 219 2 × 2 = 0 + 0,071 295 182 438 4;
  • 38) 0,071 295 182 438 4 × 2 = 0 + 0,142 590 364 876 8;
  • 39) 0,142 590 364 876 8 × 2 = 0 + 0,285 180 729 753 6;
  • 40) 0,285 180 729 753 6 × 2 = 0 + 0,570 361 459 507 2;
  • 41) 0,570 361 459 507 2 × 2 = 1 + 0,140 722 919 014 4;
  • 42) 0,140 722 919 014 4 × 2 = 0 + 0,281 445 838 028 8;
  • 43) 0,281 445 838 028 8 × 2 = 0 + 0,562 891 676 057 6;
  • 44) 0,562 891 676 057 6 × 2 = 1 + 0,125 783 352 115 2;
  • 45) 0,125 783 352 115 2 × 2 = 0 + 0,251 566 704 230 4;
  • 46) 0,251 566 704 230 4 × 2 = 0 + 0,503 133 408 460 8;
  • 47) 0,503 133 408 460 8 × 2 = 1 + 0,006 266 816 921 6;
  • 48) 0,006 266 816 921 6 × 2 = 0 + 0,012 533 633 843 2;
  • 49) 0,012 533 633 843 2 × 2 = 0 + 0,025 067 267 686 4;
  • 50) 0,025 067 267 686 4 × 2 = 0 + 0,050 134 535 372 8;
  • 51) 0,050 134 535 372 8 × 2 = 0 + 0,100 269 070 745 6;
  • 52) 0,100 269 070 745 6 × 2 = 0 + 0,200 538 141 491 2;
  • 53) 0,200 538 141 491 2 × 2 = 0 + 0,401 076 282 982 4;
  • 54) 0,401 076 282 982 4 × 2 = 0 + 0,802 152 565 964 8;
  • 55) 0,802 152 565 964 8 × 2 = 1 + 0,604 305 131 929 6;
  • 56) 0,604 305 131 929 6 × 2 = 1 + 0,208 610 263 859 2;
  • 57) 0,208 610 263 859 2 × 2 = 0 + 0,417 220 527 718 4;
  • 58) 0,417 220 527 718 4 × 2 = 0 + 0,834 441 055 436 8;
  • 59) 0,834 441 055 436 8 × 2 = 1 + 0,668 882 110 873 6;
  • 60) 0,668 882 110 873 6 × 2 = 1 + 0,337 764 221 747 2;
  • 61) 0,337 764 221 747 2 × 2 = 0 + 0,675 528 443 494 4;
  • 62) 0,675 528 443 494 4 × 2 = 1 + 0,351 056 886 988 8;
  • 63) 0,351 056 886 988 8 × 2 = 0 + 0,702 113 773 977 6;
  • 64) 0,702 113 773 977 6 × 2 = 1 + 0,404 227 547 955 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 902 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 902 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 902 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 902 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0000 1001 0010 0000 0011 0011 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 905 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100