-0,000 282 005 902 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 902 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 902 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 902 6| = 0,000 282 005 902 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 902 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 902 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 805 2;
  • 2) 0,000 564 011 805 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 610 4;
  • 3) 0,001 128 023 610 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 220 8;
  • 4) 0,002 256 047 220 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 441 6;
  • 5) 0,004 512 094 441 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 883 2;
  • 6) 0,009 024 188 883 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 766 4;
  • 7) 0,018 048 377 766 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 532 8;
  • 8) 0,036 096 755 532 8 × 2 = 0 + 0,072 193 511 065 6;
  • 9) 0,072 193 511 065 6 × 2 = 0 + 0,144 387 022 131 2;
  • 10) 0,144 387 022 131 2 × 2 = 0 + 0,288 774 044 262 4;
  • 11) 0,288 774 044 262 4 × 2 = 0 + 0,577 548 088 524 8;
  • 12) 0,577 548 088 524 8 × 2 = 1 + 0,155 096 177 049 6;
  • 13) 0,155 096 177 049 6 × 2 = 0 + 0,310 192 354 099 2;
  • 14) 0,310 192 354 099 2 × 2 = 0 + 0,620 384 708 198 4;
  • 15) 0,620 384 708 198 4 × 2 = 1 + 0,240 769 416 396 8;
  • 16) 0,240 769 416 396 8 × 2 = 0 + 0,481 538 832 793 6;
  • 17) 0,481 538 832 793 6 × 2 = 0 + 0,963 077 665 587 2;
  • 18) 0,963 077 665 587 2 × 2 = 1 + 0,926 155 331 174 4;
  • 19) 0,926 155 331 174 4 × 2 = 1 + 0,852 310 662 348 8;
  • 20) 0,852 310 662 348 8 × 2 = 1 + 0,704 621 324 697 6;
  • 21) 0,704 621 324 697 6 × 2 = 1 + 0,409 242 649 395 2;
  • 22) 0,409 242 649 395 2 × 2 = 0 + 0,818 485 298 790 4;
  • 23) 0,818 485 298 790 4 × 2 = 1 + 0,636 970 597 580 8;
  • 24) 0,636 970 597 580 8 × 2 = 1 + 0,273 941 195 161 6;
  • 25) 0,273 941 195 161 6 × 2 = 0 + 0,547 882 390 323 2;
  • 26) 0,547 882 390 323 2 × 2 = 1 + 0,095 764 780 646 4;
  • 27) 0,095 764 780 646 4 × 2 = 0 + 0,191 529 561 292 8;
  • 28) 0,191 529 561 292 8 × 2 = 0 + 0,383 059 122 585 6;
  • 29) 0,383 059 122 585 6 × 2 = 0 + 0,766 118 245 171 2;
  • 30) 0,766 118 245 171 2 × 2 = 1 + 0,532 236 490 342 4;
  • 31) 0,532 236 490 342 4 × 2 = 1 + 0,064 472 980 684 8;
  • 32) 0,064 472 980 684 8 × 2 = 0 + 0,128 945 961 369 6;
  • 33) 0,128 945 961 369 6 × 2 = 0 + 0,257 891 922 739 2;
  • 34) 0,257 891 922 739 2 × 2 = 0 + 0,515 783 845 478 4;
  • 35) 0,515 783 845 478 4 × 2 = 1 + 0,031 567 690 956 8;
  • 36) 0,031 567 690 956 8 × 2 = 0 + 0,063 135 381 913 6;
  • 37) 0,063 135 381 913 6 × 2 = 0 + 0,126 270 763 827 2;
  • 38) 0,126 270 763 827 2 × 2 = 0 + 0,252 541 527 654 4;
  • 39) 0,252 541 527 654 4 × 2 = 0 + 0,505 083 055 308 8;
  • 40) 0,505 083 055 308 8 × 2 = 1 + 0,010 166 110 617 6;
  • 41) 0,010 166 110 617 6 × 2 = 0 + 0,020 332 221 235 2;
  • 42) 0,020 332 221 235 2 × 2 = 0 + 0,040 664 442 470 4;
  • 43) 0,040 664 442 470 4 × 2 = 0 + 0,081 328 884 940 8;
  • 44) 0,081 328 884 940 8 × 2 = 0 + 0,162 657 769 881 6;
  • 45) 0,162 657 769 881 6 × 2 = 0 + 0,325 315 539 763 2;
  • 46) 0,325 315 539 763 2 × 2 = 0 + 0,650 631 079 526 4;
  • 47) 0,650 631 079 526 4 × 2 = 1 + 0,301 262 159 052 8;
  • 48) 0,301 262 159 052 8 × 2 = 0 + 0,602 524 318 105 6;
  • 49) 0,602 524 318 105 6 × 2 = 1 + 0,205 048 636 211 2;
  • 50) 0,205 048 636 211 2 × 2 = 0 + 0,410 097 272 422 4;
  • 51) 0,410 097 272 422 4 × 2 = 0 + 0,820 194 544 844 8;
  • 52) 0,820 194 544 844 8 × 2 = 1 + 0,640 389 089 689 6;
  • 53) 0,640 389 089 689 6 × 2 = 1 + 0,280 778 179 379 2;
  • 54) 0,280 778 179 379 2 × 2 = 0 + 0,561 556 358 758 4;
  • 55) 0,561 556 358 758 4 × 2 = 1 + 0,123 112 717 516 8;
  • 56) 0,123 112 717 516 8 × 2 = 0 + 0,246 225 435 033 6;
  • 57) 0,246 225 435 033 6 × 2 = 0 + 0,492 450 870 067 2;
  • 58) 0,492 450 870 067 2 × 2 = 0 + 0,984 901 740 134 4;
  • 59) 0,984 901 740 134 4 × 2 = 1 + 0,969 803 480 268 8;
  • 60) 0,969 803 480 268 8 × 2 = 1 + 0,939 606 960 537 6;
  • 61) 0,939 606 960 537 6 × 2 = 1 + 0,879 213 921 075 2;
  • 62) 0,879 213 921 075 2 × 2 = 1 + 0,758 427 842 150 4;
  • 63) 0,758 427 842 150 4 × 2 = 1 + 0,516 855 684 300 8;
  • 64) 0,516 855 684 300 8 × 2 = 1 + 0,033 711 368 601 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 902 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 902 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 902 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 902 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0001 0000 0010 1001 1010 0011 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 901 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100