-0,000 282 005 904 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 904 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 904 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 904 6| = 0,000 282 005 904 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 904 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 904 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 809 2;
  • 2) 0,000 564 011 809 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 618 4;
  • 3) 0,001 128 023 618 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 236 8;
  • 4) 0,002 256 047 236 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 473 6;
  • 5) 0,004 512 094 473 6 × 2 = 0 + 0,009 024 188 947 2;
  • 6) 0,009 024 188 947 2 × 2 = 0 + 0,018 048 377 894 4;
  • 7) 0,018 048 377 894 4 × 2 = 0 + 0,036 096 755 788 8;
  • 8) 0,036 096 755 788 8 × 2 = 0 + 0,072 193 511 577 6;
  • 9) 0,072 193 511 577 6 × 2 = 0 + 0,144 387 023 155 2;
  • 10) 0,144 387 023 155 2 × 2 = 0 + 0,288 774 046 310 4;
  • 11) 0,288 774 046 310 4 × 2 = 0 + 0,577 548 092 620 8;
  • 12) 0,577 548 092 620 8 × 2 = 1 + 0,155 096 185 241 6;
  • 13) 0,155 096 185 241 6 × 2 = 0 + 0,310 192 370 483 2;
  • 14) 0,310 192 370 483 2 × 2 = 0 + 0,620 384 740 966 4;
  • 15) 0,620 384 740 966 4 × 2 = 1 + 0,240 769 481 932 8;
  • 16) 0,240 769 481 932 8 × 2 = 0 + 0,481 538 963 865 6;
  • 17) 0,481 538 963 865 6 × 2 = 0 + 0,963 077 927 731 2;
  • 18) 0,963 077 927 731 2 × 2 = 1 + 0,926 155 855 462 4;
  • 19) 0,926 155 855 462 4 × 2 = 1 + 0,852 311 710 924 8;
  • 20) 0,852 311 710 924 8 × 2 = 1 + 0,704 623 421 849 6;
  • 21) 0,704 623 421 849 6 × 2 = 1 + 0,409 246 843 699 2;
  • 22) 0,409 246 843 699 2 × 2 = 0 + 0,818 493 687 398 4;
  • 23) 0,818 493 687 398 4 × 2 = 1 + 0,636 987 374 796 8;
  • 24) 0,636 987 374 796 8 × 2 = 1 + 0,273 974 749 593 6;
  • 25) 0,273 974 749 593 6 × 2 = 0 + 0,547 949 499 187 2;
  • 26) 0,547 949 499 187 2 × 2 = 1 + 0,095 898 998 374 4;
  • 27) 0,095 898 998 374 4 × 2 = 0 + 0,191 797 996 748 8;
  • 28) 0,191 797 996 748 8 × 2 = 0 + 0,383 595 993 497 6;
  • 29) 0,383 595 993 497 6 × 2 = 0 + 0,767 191 986 995 2;
  • 30) 0,767 191 986 995 2 × 2 = 1 + 0,534 383 973 990 4;
  • 31) 0,534 383 973 990 4 × 2 = 1 + 0,068 767 947 980 8;
  • 32) 0,068 767 947 980 8 × 2 = 0 + 0,137 535 895 961 6;
  • 33) 0,137 535 895 961 6 × 2 = 0 + 0,275 071 791 923 2;
  • 34) 0,275 071 791 923 2 × 2 = 0 + 0,550 143 583 846 4;
  • 35) 0,550 143 583 846 4 × 2 = 1 + 0,100 287 167 692 8;
  • 36) 0,100 287 167 692 8 × 2 = 0 + 0,200 574 335 385 6;
  • 37) 0,200 574 335 385 6 × 2 = 0 + 0,401 148 670 771 2;
  • 38) 0,401 148 670 771 2 × 2 = 0 + 0,802 297 341 542 4;
  • 39) 0,802 297 341 542 4 × 2 = 1 + 0,604 594 683 084 8;
  • 40) 0,604 594 683 084 8 × 2 = 1 + 0,209 189 366 169 6;
  • 41) 0,209 189 366 169 6 × 2 = 0 + 0,418 378 732 339 2;
  • 42) 0,418 378 732 339 2 × 2 = 0 + 0,836 757 464 678 4;
  • 43) 0,836 757 464 678 4 × 2 = 1 + 0,673 514 929 356 8;
  • 44) 0,673 514 929 356 8 × 2 = 1 + 0,347 029 858 713 6;
  • 45) 0,347 029 858 713 6 × 2 = 0 + 0,694 059 717 427 2;
  • 46) 0,694 059 717 427 2 × 2 = 1 + 0,388 119 434 854 4;
  • 47) 0,388 119 434 854 4 × 2 = 0 + 0,776 238 869 708 8;
  • 48) 0,776 238 869 708 8 × 2 = 1 + 0,552 477 739 417 6;
  • 49) 0,552 477 739 417 6 × 2 = 1 + 0,104 955 478 835 2;
  • 50) 0,104 955 478 835 2 × 2 = 0 + 0,209 910 957 670 4;
  • 51) 0,209 910 957 670 4 × 2 = 0 + 0,419 821 915 340 8;
  • 52) 0,419 821 915 340 8 × 2 = 0 + 0,839 643 830 681 6;
  • 53) 0,839 643 830 681 6 × 2 = 1 + 0,679 287 661 363 2;
  • 54) 0,679 287 661 363 2 × 2 = 1 + 0,358 575 322 726 4;
  • 55) 0,358 575 322 726 4 × 2 = 0 + 0,717 150 645 452 8;
  • 56) 0,717 150 645 452 8 × 2 = 1 + 0,434 301 290 905 6;
  • 57) 0,434 301 290 905 6 × 2 = 0 + 0,868 602 581 811 2;
  • 58) 0,868 602 581 811 2 × 2 = 1 + 0,737 205 163 622 4;
  • 59) 0,737 205 163 622 4 × 2 = 1 + 0,474 410 327 244 8;
  • 60) 0,474 410 327 244 8 × 2 = 0 + 0,948 820 654 489 6;
  • 61) 0,948 820 654 489 6 × 2 = 1 + 0,897 641 308 979 2;
  • 62) 0,897 641 308 979 2 × 2 = 1 + 0,795 282 617 958 4;
  • 63) 0,795 282 617 958 4 × 2 = 1 + 0,590 565 235 916 8;
  • 64) 0,590 565 235 916 8 × 2 = 1 + 0,181 130 471 833 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 904 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 904 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 904 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 904 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0011 0101 1000 1101 0110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 894 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100