-0,000 282 005 904 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 904 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 904 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 904 8| = 0,000 282 005 904 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 904 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 904 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 809 6;
  • 2) 0,000 564 011 809 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 619 2;
  • 3) 0,001 128 023 619 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 238 4;
  • 4) 0,002 256 047 238 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 476 8;
  • 5) 0,004 512 094 476 8 × 2 = 0 + 0,009 024 188 953 6;
  • 6) 0,009 024 188 953 6 × 2 = 0 + 0,018 048 377 907 2;
  • 7) 0,018 048 377 907 2 × 2 = 0 + 0,036 096 755 814 4;
  • 8) 0,036 096 755 814 4 × 2 = 0 + 0,072 193 511 628 8;
  • 9) 0,072 193 511 628 8 × 2 = 0 + 0,144 387 023 257 6;
  • 10) 0,144 387 023 257 6 × 2 = 0 + 0,288 774 046 515 2;
  • 11) 0,288 774 046 515 2 × 2 = 0 + 0,577 548 093 030 4;
  • 12) 0,577 548 093 030 4 × 2 = 1 + 0,155 096 186 060 8;
  • 13) 0,155 096 186 060 8 × 2 = 0 + 0,310 192 372 121 6;
  • 14) 0,310 192 372 121 6 × 2 = 0 + 0,620 384 744 243 2;
  • 15) 0,620 384 744 243 2 × 2 = 1 + 0,240 769 488 486 4;
  • 16) 0,240 769 488 486 4 × 2 = 0 + 0,481 538 976 972 8;
  • 17) 0,481 538 976 972 8 × 2 = 0 + 0,963 077 953 945 6;
  • 18) 0,963 077 953 945 6 × 2 = 1 + 0,926 155 907 891 2;
  • 19) 0,926 155 907 891 2 × 2 = 1 + 0,852 311 815 782 4;
  • 20) 0,852 311 815 782 4 × 2 = 1 + 0,704 623 631 564 8;
  • 21) 0,704 623 631 564 8 × 2 = 1 + 0,409 247 263 129 6;
  • 22) 0,409 247 263 129 6 × 2 = 0 + 0,818 494 526 259 2;
  • 23) 0,818 494 526 259 2 × 2 = 1 + 0,636 989 052 518 4;
  • 24) 0,636 989 052 518 4 × 2 = 1 + 0,273 978 105 036 8;
  • 25) 0,273 978 105 036 8 × 2 = 0 + 0,547 956 210 073 6;
  • 26) 0,547 956 210 073 6 × 2 = 1 + 0,095 912 420 147 2;
  • 27) 0,095 912 420 147 2 × 2 = 0 + 0,191 824 840 294 4;
  • 28) 0,191 824 840 294 4 × 2 = 0 + 0,383 649 680 588 8;
  • 29) 0,383 649 680 588 8 × 2 = 0 + 0,767 299 361 177 6;
  • 30) 0,767 299 361 177 6 × 2 = 1 + 0,534 598 722 355 2;
  • 31) 0,534 598 722 355 2 × 2 = 1 + 0,069 197 444 710 4;
  • 32) 0,069 197 444 710 4 × 2 = 0 + 0,138 394 889 420 8;
  • 33) 0,138 394 889 420 8 × 2 = 0 + 0,276 789 778 841 6;
  • 34) 0,276 789 778 841 6 × 2 = 0 + 0,553 579 557 683 2;
  • 35) 0,553 579 557 683 2 × 2 = 1 + 0,107 159 115 366 4;
  • 36) 0,107 159 115 366 4 × 2 = 0 + 0,214 318 230 732 8;
  • 37) 0,214 318 230 732 8 × 2 = 0 + 0,428 636 461 465 6;
  • 38) 0,428 636 461 465 6 × 2 = 0 + 0,857 272 922 931 2;
  • 39) 0,857 272 922 931 2 × 2 = 1 + 0,714 545 845 862 4;
  • 40) 0,714 545 845 862 4 × 2 = 1 + 0,429 091 691 724 8;
  • 41) 0,429 091 691 724 8 × 2 = 0 + 0,858 183 383 449 6;
  • 42) 0,858 183 383 449 6 × 2 = 1 + 0,716 366 766 899 2;
  • 43) 0,716 366 766 899 2 × 2 = 1 + 0,432 733 533 798 4;
  • 44) 0,432 733 533 798 4 × 2 = 0 + 0,865 467 067 596 8;
  • 45) 0,865 467 067 596 8 × 2 = 1 + 0,730 934 135 193 6;
  • 46) 0,730 934 135 193 6 × 2 = 1 + 0,461 868 270 387 2;
  • 47) 0,461 868 270 387 2 × 2 = 0 + 0,923 736 540 774 4;
  • 48) 0,923 736 540 774 4 × 2 = 1 + 0,847 473 081 548 8;
  • 49) 0,847 473 081 548 8 × 2 = 1 + 0,694 946 163 097 6;
  • 50) 0,694 946 163 097 6 × 2 = 1 + 0,389 892 326 195 2;
  • 51) 0,389 892 326 195 2 × 2 = 0 + 0,779 784 652 390 4;
  • 52) 0,779 784 652 390 4 × 2 = 1 + 0,559 569 304 780 8;
  • 53) 0,559 569 304 780 8 × 2 = 1 + 0,119 138 609 561 6;
  • 54) 0,119 138 609 561 6 × 2 = 0 + 0,238 277 219 123 2;
  • 55) 0,238 277 219 123 2 × 2 = 0 + 0,476 554 438 246 4;
  • 56) 0,476 554 438 246 4 × 2 = 0 + 0,953 108 876 492 8;
  • 57) 0,953 108 876 492 8 × 2 = 1 + 0,906 217 752 985 6;
  • 58) 0,906 217 752 985 6 × 2 = 1 + 0,812 435 505 971 2;
  • 59) 0,812 435 505 971 2 × 2 = 1 + 0,624 871 011 942 4;
  • 60) 0,624 871 011 942 4 × 2 = 1 + 0,249 742 023 884 8;
  • 61) 0,249 742 023 884 8 × 2 = 0 + 0,499 484 047 769 6;
  • 62) 0,499 484 047 769 6 × 2 = 0 + 0,998 968 095 539 2;
  • 63) 0,998 968 095 539 2 × 2 = 1 + 0,997 936 191 078 4;
  • 64) 0,997 936 191 078 4 × 2 = 1 + 0,995 872 382 156 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 904 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 904 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 904 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 904 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0011 0110 1101 1101 1000 1111 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 903 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100