-0,000 282 005 905 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 905 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 905 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 905 7| = 0,000 282 005 905 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 905 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 905 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 811 4;
  • 2) 0,000 564 011 811 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 622 8;
  • 3) 0,001 128 023 622 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 245 6;
  • 4) 0,002 256 047 245 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 491 2;
  • 5) 0,004 512 094 491 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 982 4;
  • 6) 0,009 024 188 982 4 × 2 = 0 + 0,018 048 377 964 8;
  • 7) 0,018 048 377 964 8 × 2 = 0 + 0,036 096 755 929 6;
  • 8) 0,036 096 755 929 6 × 2 = 0 + 0,072 193 511 859 2;
  • 9) 0,072 193 511 859 2 × 2 = 0 + 0,144 387 023 718 4;
  • 10) 0,144 387 023 718 4 × 2 = 0 + 0,288 774 047 436 8;
  • 11) 0,288 774 047 436 8 × 2 = 0 + 0,577 548 094 873 6;
  • 12) 0,577 548 094 873 6 × 2 = 1 + 0,155 096 189 747 2;
  • 13) 0,155 096 189 747 2 × 2 = 0 + 0,310 192 379 494 4;
  • 14) 0,310 192 379 494 4 × 2 = 0 + 0,620 384 758 988 8;
  • 15) 0,620 384 758 988 8 × 2 = 1 + 0,240 769 517 977 6;
  • 16) 0,240 769 517 977 6 × 2 = 0 + 0,481 539 035 955 2;
  • 17) 0,481 539 035 955 2 × 2 = 0 + 0,963 078 071 910 4;
  • 18) 0,963 078 071 910 4 × 2 = 1 + 0,926 156 143 820 8;
  • 19) 0,926 156 143 820 8 × 2 = 1 + 0,852 312 287 641 6;
  • 20) 0,852 312 287 641 6 × 2 = 1 + 0,704 624 575 283 2;
  • 21) 0,704 624 575 283 2 × 2 = 1 + 0,409 249 150 566 4;
  • 22) 0,409 249 150 566 4 × 2 = 0 + 0,818 498 301 132 8;
  • 23) 0,818 498 301 132 8 × 2 = 1 + 0,636 996 602 265 6;
  • 24) 0,636 996 602 265 6 × 2 = 1 + 0,273 993 204 531 2;
  • 25) 0,273 993 204 531 2 × 2 = 0 + 0,547 986 409 062 4;
  • 26) 0,547 986 409 062 4 × 2 = 1 + 0,095 972 818 124 8;
  • 27) 0,095 972 818 124 8 × 2 = 0 + 0,191 945 636 249 6;
  • 28) 0,191 945 636 249 6 × 2 = 0 + 0,383 891 272 499 2;
  • 29) 0,383 891 272 499 2 × 2 = 0 + 0,767 782 544 998 4;
  • 30) 0,767 782 544 998 4 × 2 = 1 + 0,535 565 089 996 8;
  • 31) 0,535 565 089 996 8 × 2 = 1 + 0,071 130 179 993 6;
  • 32) 0,071 130 179 993 6 × 2 = 0 + 0,142 260 359 987 2;
  • 33) 0,142 260 359 987 2 × 2 = 0 + 0,284 520 719 974 4;
  • 34) 0,284 520 719 974 4 × 2 = 0 + 0,569 041 439 948 8;
  • 35) 0,569 041 439 948 8 × 2 = 1 + 0,138 082 879 897 6;
  • 36) 0,138 082 879 897 6 × 2 = 0 + 0,276 165 759 795 2;
  • 37) 0,276 165 759 795 2 × 2 = 0 + 0,552 331 519 590 4;
  • 38) 0,552 331 519 590 4 × 2 = 1 + 0,104 663 039 180 8;
  • 39) 0,104 663 039 180 8 × 2 = 0 + 0,209 326 078 361 6;
  • 40) 0,209 326 078 361 6 × 2 = 0 + 0,418 652 156 723 2;
  • 41) 0,418 652 156 723 2 × 2 = 0 + 0,837 304 313 446 4;
  • 42) 0,837 304 313 446 4 × 2 = 1 + 0,674 608 626 892 8;
  • 43) 0,674 608 626 892 8 × 2 = 1 + 0,349 217 253 785 6;
  • 44) 0,349 217 253 785 6 × 2 = 0 + 0,698 434 507 571 2;
  • 45) 0,698 434 507 571 2 × 2 = 1 + 0,396 869 015 142 4;
  • 46) 0,396 869 015 142 4 × 2 = 0 + 0,793 738 030 284 8;
  • 47) 0,793 738 030 284 8 × 2 = 1 + 0,587 476 060 569 6;
  • 48) 0,587 476 060 569 6 × 2 = 1 + 0,174 952 121 139 2;
  • 49) 0,174 952 121 139 2 × 2 = 0 + 0,349 904 242 278 4;
  • 50) 0,349 904 242 278 4 × 2 = 0 + 0,699 808 484 556 8;
  • 51) 0,699 808 484 556 8 × 2 = 1 + 0,399 616 969 113 6;
  • 52) 0,399 616 969 113 6 × 2 = 0 + 0,799 233 938 227 2;
  • 53) 0,799 233 938 227 2 × 2 = 1 + 0,598 467 876 454 4;
  • 54) 0,598 467 876 454 4 × 2 = 1 + 0,196 935 752 908 8;
  • 55) 0,196 935 752 908 8 × 2 = 0 + 0,393 871 505 817 6;
  • 56) 0,393 871 505 817 6 × 2 = 0 + 0,787 743 011 635 2;
  • 57) 0,787 743 011 635 2 × 2 = 1 + 0,575 486 023 270 4;
  • 58) 0,575 486 023 270 4 × 2 = 1 + 0,150 972 046 540 8;
  • 59) 0,150 972 046 540 8 × 2 = 0 + 0,301 944 093 081 6;
  • 60) 0,301 944 093 081 6 × 2 = 0 + 0,603 888 186 163 2;
  • 61) 0,603 888 186 163 2 × 2 = 1 + 0,207 776 372 326 4;
  • 62) 0,207 776 372 326 4 × 2 = 0 + 0,415 552 744 652 8;
  • 63) 0,415 552 744 652 8 × 2 = 0 + 0,831 105 489 305 6;
  • 64) 0,831 105 489 305 6 × 2 = 1 + 0,662 210 978 611 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 905 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 905 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 905 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 905 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0100 0110 1011 0010 1100 1100 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 904 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100