-0,000 282 005 906 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 906 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 906 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 906 3| = 0,000 282 005 906 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 906 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 906 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 812 6;
  • 2) 0,000 564 011 812 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 625 2;
  • 3) 0,001 128 023 625 2 × 2 = 0 + 0,002 256 047 250 4;
  • 4) 0,002 256 047 250 4 × 2 = 0 + 0,004 512 094 500 8;
  • 5) 0,004 512 094 500 8 × 2 = 0 + 0,009 024 189 001 6;
  • 6) 0,009 024 189 001 6 × 2 = 0 + 0,018 048 378 003 2;
  • 7) 0,018 048 378 003 2 × 2 = 0 + 0,036 096 756 006 4;
  • 8) 0,036 096 756 006 4 × 2 = 0 + 0,072 193 512 012 8;
  • 9) 0,072 193 512 012 8 × 2 = 0 + 0,144 387 024 025 6;
  • 10) 0,144 387 024 025 6 × 2 = 0 + 0,288 774 048 051 2;
  • 11) 0,288 774 048 051 2 × 2 = 0 + 0,577 548 096 102 4;
  • 12) 0,577 548 096 102 4 × 2 = 1 + 0,155 096 192 204 8;
  • 13) 0,155 096 192 204 8 × 2 = 0 + 0,310 192 384 409 6;
  • 14) 0,310 192 384 409 6 × 2 = 0 + 0,620 384 768 819 2;
  • 15) 0,620 384 768 819 2 × 2 = 1 + 0,240 769 537 638 4;
  • 16) 0,240 769 537 638 4 × 2 = 0 + 0,481 539 075 276 8;
  • 17) 0,481 539 075 276 8 × 2 = 0 + 0,963 078 150 553 6;
  • 18) 0,963 078 150 553 6 × 2 = 1 + 0,926 156 301 107 2;
  • 19) 0,926 156 301 107 2 × 2 = 1 + 0,852 312 602 214 4;
  • 20) 0,852 312 602 214 4 × 2 = 1 + 0,704 625 204 428 8;
  • 21) 0,704 625 204 428 8 × 2 = 1 + 0,409 250 408 857 6;
  • 22) 0,409 250 408 857 6 × 2 = 0 + 0,818 500 817 715 2;
  • 23) 0,818 500 817 715 2 × 2 = 1 + 0,637 001 635 430 4;
  • 24) 0,637 001 635 430 4 × 2 = 1 + 0,274 003 270 860 8;
  • 25) 0,274 003 270 860 8 × 2 = 0 + 0,548 006 541 721 6;
  • 26) 0,548 006 541 721 6 × 2 = 1 + 0,096 013 083 443 2;
  • 27) 0,096 013 083 443 2 × 2 = 0 + 0,192 026 166 886 4;
  • 28) 0,192 026 166 886 4 × 2 = 0 + 0,384 052 333 772 8;
  • 29) 0,384 052 333 772 8 × 2 = 0 + 0,768 104 667 545 6;
  • 30) 0,768 104 667 545 6 × 2 = 1 + 0,536 209 335 091 2;
  • 31) 0,536 209 335 091 2 × 2 = 1 + 0,072 418 670 182 4;
  • 32) 0,072 418 670 182 4 × 2 = 0 + 0,144 837 340 364 8;
  • 33) 0,144 837 340 364 8 × 2 = 0 + 0,289 674 680 729 6;
  • 34) 0,289 674 680 729 6 × 2 = 0 + 0,579 349 361 459 2;
  • 35) 0,579 349 361 459 2 × 2 = 1 + 0,158 698 722 918 4;
  • 36) 0,158 698 722 918 4 × 2 = 0 + 0,317 397 445 836 8;
  • 37) 0,317 397 445 836 8 × 2 = 0 + 0,634 794 891 673 6;
  • 38) 0,634 794 891 673 6 × 2 = 1 + 0,269 589 783 347 2;
  • 39) 0,269 589 783 347 2 × 2 = 0 + 0,539 179 566 694 4;
  • 40) 0,539 179 566 694 4 × 2 = 1 + 0,078 359 133 388 8;
  • 41) 0,078 359 133 388 8 × 2 = 0 + 0,156 718 266 777 6;
  • 42) 0,156 718 266 777 6 × 2 = 0 + 0,313 436 533 555 2;
  • 43) 0,313 436 533 555 2 × 2 = 0 + 0,626 873 067 110 4;
  • 44) 0,626 873 067 110 4 × 2 = 1 + 0,253 746 134 220 8;
  • 45) 0,253 746 134 220 8 × 2 = 0 + 0,507 492 268 441 6;
  • 46) 0,507 492 268 441 6 × 2 = 1 + 0,014 984 536 883 2;
  • 47) 0,014 984 536 883 2 × 2 = 0 + 0,029 969 073 766 4;
  • 48) 0,029 969 073 766 4 × 2 = 0 + 0,059 938 147 532 8;
  • 49) 0,059 938 147 532 8 × 2 = 0 + 0,119 876 295 065 6;
  • 50) 0,119 876 295 065 6 × 2 = 0 + 0,239 752 590 131 2;
  • 51) 0,239 752 590 131 2 × 2 = 0 + 0,479 505 180 262 4;
  • 52) 0,479 505 180 262 4 × 2 = 0 + 0,959 010 360 524 8;
  • 53) 0,959 010 360 524 8 × 2 = 1 + 0,918 020 721 049 6;
  • 54) 0,918 020 721 049 6 × 2 = 1 + 0,836 041 442 099 2;
  • 55) 0,836 041 442 099 2 × 2 = 1 + 0,672 082 884 198 4;
  • 56) 0,672 082 884 198 4 × 2 = 1 + 0,344 165 768 396 8;
  • 57) 0,344 165 768 396 8 × 2 = 0 + 0,688 331 536 793 6;
  • 58) 0,688 331 536 793 6 × 2 = 1 + 0,376 663 073 587 2;
  • 59) 0,376 663 073 587 2 × 2 = 0 + 0,753 326 147 174 4;
  • 60) 0,753 326 147 174 4 × 2 = 1 + 0,506 652 294 348 8;
  • 61) 0,506 652 294 348 8 × 2 = 1 + 0,013 304 588 697 6;
  • 62) 0,013 304 588 697 6 × 2 = 0 + 0,026 609 177 395 2;
  • 63) 0,026 609 177 395 2 × 2 = 0 + 0,053 218 354 790 4;
  • 64) 0,053 218 354 790 4 × 2 = 0 + 0,106 436 709 580 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 906 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 906 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 906 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 906 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 0001 0100 0000 1111 0101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 900 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100