-0,000 282 005 906 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 906 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 906 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 906 9| = 0,000 282 005 906 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 906 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 906 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 813 8;
  • 2) 0,000 564 011 813 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 627 6;
  • 3) 0,001 128 023 627 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 255 2;
  • 4) 0,002 256 047 255 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 510 4;
  • 5) 0,004 512 094 510 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 020 8;
  • 6) 0,009 024 189 020 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 041 6;
  • 7) 0,018 048 378 041 6 × 2 = 0 + 0,036 096 756 083 2;
  • 8) 0,036 096 756 083 2 × 2 = 0 + 0,072 193 512 166 4;
  • 9) 0,072 193 512 166 4 × 2 = 0 + 0,144 387 024 332 8;
  • 10) 0,144 387 024 332 8 × 2 = 0 + 0,288 774 048 665 6;
  • 11) 0,288 774 048 665 6 × 2 = 0 + 0,577 548 097 331 2;
  • 12) 0,577 548 097 331 2 × 2 = 1 + 0,155 096 194 662 4;
  • 13) 0,155 096 194 662 4 × 2 = 0 + 0,310 192 389 324 8;
  • 14) 0,310 192 389 324 8 × 2 = 0 + 0,620 384 778 649 6;
  • 15) 0,620 384 778 649 6 × 2 = 1 + 0,240 769 557 299 2;
  • 16) 0,240 769 557 299 2 × 2 = 0 + 0,481 539 114 598 4;
  • 17) 0,481 539 114 598 4 × 2 = 0 + 0,963 078 229 196 8;
  • 18) 0,963 078 229 196 8 × 2 = 1 + 0,926 156 458 393 6;
  • 19) 0,926 156 458 393 6 × 2 = 1 + 0,852 312 916 787 2;
  • 20) 0,852 312 916 787 2 × 2 = 1 + 0,704 625 833 574 4;
  • 21) 0,704 625 833 574 4 × 2 = 1 + 0,409 251 667 148 8;
  • 22) 0,409 251 667 148 8 × 2 = 0 + 0,818 503 334 297 6;
  • 23) 0,818 503 334 297 6 × 2 = 1 + 0,637 006 668 595 2;
  • 24) 0,637 006 668 595 2 × 2 = 1 + 0,274 013 337 190 4;
  • 25) 0,274 013 337 190 4 × 2 = 0 + 0,548 026 674 380 8;
  • 26) 0,548 026 674 380 8 × 2 = 1 + 0,096 053 348 761 6;
  • 27) 0,096 053 348 761 6 × 2 = 0 + 0,192 106 697 523 2;
  • 28) 0,192 106 697 523 2 × 2 = 0 + 0,384 213 395 046 4;
  • 29) 0,384 213 395 046 4 × 2 = 0 + 0,768 426 790 092 8;
  • 30) 0,768 426 790 092 8 × 2 = 1 + 0,536 853 580 185 6;
  • 31) 0,536 853 580 185 6 × 2 = 1 + 0,073 707 160 371 2;
  • 32) 0,073 707 160 371 2 × 2 = 0 + 0,147 414 320 742 4;
  • 33) 0,147 414 320 742 4 × 2 = 0 + 0,294 828 641 484 8;
  • 34) 0,294 828 641 484 8 × 2 = 0 + 0,589 657 282 969 6;
  • 35) 0,589 657 282 969 6 × 2 = 1 + 0,179 314 565 939 2;
  • 36) 0,179 314 565 939 2 × 2 = 0 + 0,358 629 131 878 4;
  • 37) 0,358 629 131 878 4 × 2 = 0 + 0,717 258 263 756 8;
  • 38) 0,717 258 263 756 8 × 2 = 1 + 0,434 516 527 513 6;
  • 39) 0,434 516 527 513 6 × 2 = 0 + 0,869 033 055 027 2;
  • 40) 0,869 033 055 027 2 × 2 = 1 + 0,738 066 110 054 4;
  • 41) 0,738 066 110 054 4 × 2 = 1 + 0,476 132 220 108 8;
  • 42) 0,476 132 220 108 8 × 2 = 0 + 0,952 264 440 217 6;
  • 43) 0,952 264 440 217 6 × 2 = 1 + 0,904 528 880 435 2;
  • 44) 0,904 528 880 435 2 × 2 = 1 + 0,809 057 760 870 4;
  • 45) 0,809 057 760 870 4 × 2 = 1 + 0,618 115 521 740 8;
  • 46) 0,618 115 521 740 8 × 2 = 1 + 0,236 231 043 481 6;
  • 47) 0,236 231 043 481 6 × 2 = 0 + 0,472 462 086 963 2;
  • 48) 0,472 462 086 963 2 × 2 = 0 + 0,944 924 173 926 4;
  • 49) 0,944 924 173 926 4 × 2 = 1 + 0,889 848 347 852 8;
  • 50) 0,889 848 347 852 8 × 2 = 1 + 0,779 696 695 705 6;
  • 51) 0,779 696 695 705 6 × 2 = 1 + 0,559 393 391 411 2;
  • 52) 0,559 393 391 411 2 × 2 = 1 + 0,118 786 782 822 4;
  • 53) 0,118 786 782 822 4 × 2 = 0 + 0,237 573 565 644 8;
  • 54) 0,237 573 565 644 8 × 2 = 0 + 0,475 147 131 289 6;
  • 55) 0,475 147 131 289 6 × 2 = 0 + 0,950 294 262 579 2;
  • 56) 0,950 294 262 579 2 × 2 = 1 + 0,900 588 525 158 4;
  • 57) 0,900 588 525 158 4 × 2 = 1 + 0,801 177 050 316 8;
  • 58) 0,801 177 050 316 8 × 2 = 1 + 0,602 354 100 633 6;
  • 59) 0,602 354 100 633 6 × 2 = 1 + 0,204 708 201 267 2;
  • 60) 0,204 708 201 267 2 × 2 = 0 + 0,409 416 402 534 4;
  • 61) 0,409 416 402 534 4 × 2 = 0 + 0,818 832 805 068 8;
  • 62) 0,818 832 805 068 8 × 2 = 1 + 0,637 665 610 137 6;
  • 63) 0,637 665 610 137 6 × 2 = 1 + 0,275 331 220 275 2;
  • 64) 0,275 331 220 275 2 × 2 = 0 + 0,550 662 440 550 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 906 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 906 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 906 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 906 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1011 1100 1111 0001 1110 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 904 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100