-0,000 282 005 907 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 907 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 907 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 907 1| = 0,000 282 005 907 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 907 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 907 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 814 2;
  • 2) 0,000 564 011 814 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 628 4;
  • 3) 0,001 128 023 628 4 × 2 = 0 + 0,002 256 047 256 8;
  • 4) 0,002 256 047 256 8 × 2 = 0 + 0,004 512 094 513 6;
  • 5) 0,004 512 094 513 6 × 2 = 0 + 0,009 024 189 027 2;
  • 6) 0,009 024 189 027 2 × 2 = 0 + 0,018 048 378 054 4;
  • 7) 0,018 048 378 054 4 × 2 = 0 + 0,036 096 756 108 8;
  • 8) 0,036 096 756 108 8 × 2 = 0 + 0,072 193 512 217 6;
  • 9) 0,072 193 512 217 6 × 2 = 0 + 0,144 387 024 435 2;
  • 10) 0,144 387 024 435 2 × 2 = 0 + 0,288 774 048 870 4;
  • 11) 0,288 774 048 870 4 × 2 = 0 + 0,577 548 097 740 8;
  • 12) 0,577 548 097 740 8 × 2 = 1 + 0,155 096 195 481 6;
  • 13) 0,155 096 195 481 6 × 2 = 0 + 0,310 192 390 963 2;
  • 14) 0,310 192 390 963 2 × 2 = 0 + 0,620 384 781 926 4;
  • 15) 0,620 384 781 926 4 × 2 = 1 + 0,240 769 563 852 8;
  • 16) 0,240 769 563 852 8 × 2 = 0 + 0,481 539 127 705 6;
  • 17) 0,481 539 127 705 6 × 2 = 0 + 0,963 078 255 411 2;
  • 18) 0,963 078 255 411 2 × 2 = 1 + 0,926 156 510 822 4;
  • 19) 0,926 156 510 822 4 × 2 = 1 + 0,852 313 021 644 8;
  • 20) 0,852 313 021 644 8 × 2 = 1 + 0,704 626 043 289 6;
  • 21) 0,704 626 043 289 6 × 2 = 1 + 0,409 252 086 579 2;
  • 22) 0,409 252 086 579 2 × 2 = 0 + 0,818 504 173 158 4;
  • 23) 0,818 504 173 158 4 × 2 = 1 + 0,637 008 346 316 8;
  • 24) 0,637 008 346 316 8 × 2 = 1 + 0,274 016 692 633 6;
  • 25) 0,274 016 692 633 6 × 2 = 0 + 0,548 033 385 267 2;
  • 26) 0,548 033 385 267 2 × 2 = 1 + 0,096 066 770 534 4;
  • 27) 0,096 066 770 534 4 × 2 = 0 + 0,192 133 541 068 8;
  • 28) 0,192 133 541 068 8 × 2 = 0 + 0,384 267 082 137 6;
  • 29) 0,384 267 082 137 6 × 2 = 0 + 0,768 534 164 275 2;
  • 30) 0,768 534 164 275 2 × 2 = 1 + 0,537 068 328 550 4;
  • 31) 0,537 068 328 550 4 × 2 = 1 + 0,074 136 657 100 8;
  • 32) 0,074 136 657 100 8 × 2 = 0 + 0,148 273 314 201 6;
  • 33) 0,148 273 314 201 6 × 2 = 0 + 0,296 546 628 403 2;
  • 34) 0,296 546 628 403 2 × 2 = 0 + 0,593 093 256 806 4;
  • 35) 0,593 093 256 806 4 × 2 = 1 + 0,186 186 513 612 8;
  • 36) 0,186 186 513 612 8 × 2 = 0 + 0,372 373 027 225 6;
  • 37) 0,372 373 027 225 6 × 2 = 0 + 0,744 746 054 451 2;
  • 38) 0,744 746 054 451 2 × 2 = 1 + 0,489 492 108 902 4;
  • 39) 0,489 492 108 902 4 × 2 = 0 + 0,978 984 217 804 8;
  • 40) 0,978 984 217 804 8 × 2 = 1 + 0,957 968 435 609 6;
  • 41) 0,957 968 435 609 6 × 2 = 1 + 0,915 936 871 219 2;
  • 42) 0,915 936 871 219 2 × 2 = 1 + 0,831 873 742 438 4;
  • 43) 0,831 873 742 438 4 × 2 = 1 + 0,663 747 484 876 8;
  • 44) 0,663 747 484 876 8 × 2 = 1 + 0,327 494 969 753 6;
  • 45) 0,327 494 969 753 6 × 2 = 0 + 0,654 989 939 507 2;
  • 46) 0,654 989 939 507 2 × 2 = 1 + 0,309 979 879 014 4;
  • 47) 0,309 979 879 014 4 × 2 = 0 + 0,619 959 758 028 8;
  • 48) 0,619 959 758 028 8 × 2 = 1 + 0,239 919 516 057 6;
  • 49) 0,239 919 516 057 6 × 2 = 0 + 0,479 839 032 115 2;
  • 50) 0,479 839 032 115 2 × 2 = 0 + 0,959 678 064 230 4;
  • 51) 0,959 678 064 230 4 × 2 = 1 + 0,919 356 128 460 8;
  • 52) 0,919 356 128 460 8 × 2 = 1 + 0,838 712 256 921 6;
  • 53) 0,838 712 256 921 6 × 2 = 1 + 0,677 424 513 843 2;
  • 54) 0,677 424 513 843 2 × 2 = 1 + 0,354 849 027 686 4;
  • 55) 0,354 849 027 686 4 × 2 = 0 + 0,709 698 055 372 8;
  • 56) 0,709 698 055 372 8 × 2 = 1 + 0,419 396 110 745 6;
  • 57) 0,419 396 110 745 6 × 2 = 0 + 0,838 792 221 491 2;
  • 58) 0,838 792 221 491 2 × 2 = 1 + 0,677 584 442 982 4;
  • 59) 0,677 584 442 982 4 × 2 = 1 + 0,355 168 885 964 8;
  • 60) 0,355 168 885 964 8 × 2 = 0 + 0,710 337 771 929 6;
  • 61) 0,710 337 771 929 6 × 2 = 1 + 0,420 675 543 859 2;
  • 62) 0,420 675 543 859 2 × 2 = 0 + 0,841 351 087 718 4;
  • 63) 0,841 351 087 718 4 × 2 = 1 + 0,682 702 175 436 8;
  • 64) 0,682 702 175 436 8 × 2 = 1 + 0,365 404 350 873 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 907 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 907 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 907 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 907 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0101 1111 0101 0011 1101 0110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 903 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100