-0,000 282 005 907 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 907 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 907 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 907 2| = 0,000 282 005 907 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 907 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 907 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 814 4;
  • 2) 0,000 564 011 814 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 628 8;
  • 3) 0,001 128 023 628 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 257 6;
  • 4) 0,002 256 047 257 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 515 2;
  • 5) 0,004 512 094 515 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 030 4;
  • 6) 0,009 024 189 030 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 060 8;
  • 7) 0,018 048 378 060 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 121 6;
  • 8) 0,036 096 756 121 6 × 2 = 0 + 0,072 193 512 243 2;
  • 9) 0,072 193 512 243 2 × 2 = 0 + 0,144 387 024 486 4;
  • 10) 0,144 387 024 486 4 × 2 = 0 + 0,288 774 048 972 8;
  • 11) 0,288 774 048 972 8 × 2 = 0 + 0,577 548 097 945 6;
  • 12) 0,577 548 097 945 6 × 2 = 1 + 0,155 096 195 891 2;
  • 13) 0,155 096 195 891 2 × 2 = 0 + 0,310 192 391 782 4;
  • 14) 0,310 192 391 782 4 × 2 = 0 + 0,620 384 783 564 8;
  • 15) 0,620 384 783 564 8 × 2 = 1 + 0,240 769 567 129 6;
  • 16) 0,240 769 567 129 6 × 2 = 0 + 0,481 539 134 259 2;
  • 17) 0,481 539 134 259 2 × 2 = 0 + 0,963 078 268 518 4;
  • 18) 0,963 078 268 518 4 × 2 = 1 + 0,926 156 537 036 8;
  • 19) 0,926 156 537 036 8 × 2 = 1 + 0,852 313 074 073 6;
  • 20) 0,852 313 074 073 6 × 2 = 1 + 0,704 626 148 147 2;
  • 21) 0,704 626 148 147 2 × 2 = 1 + 0,409 252 296 294 4;
  • 22) 0,409 252 296 294 4 × 2 = 0 + 0,818 504 592 588 8;
  • 23) 0,818 504 592 588 8 × 2 = 1 + 0,637 009 185 177 6;
  • 24) 0,637 009 185 177 6 × 2 = 1 + 0,274 018 370 355 2;
  • 25) 0,274 018 370 355 2 × 2 = 0 + 0,548 036 740 710 4;
  • 26) 0,548 036 740 710 4 × 2 = 1 + 0,096 073 481 420 8;
  • 27) 0,096 073 481 420 8 × 2 = 0 + 0,192 146 962 841 6;
  • 28) 0,192 146 962 841 6 × 2 = 0 + 0,384 293 925 683 2;
  • 29) 0,384 293 925 683 2 × 2 = 0 + 0,768 587 851 366 4;
  • 30) 0,768 587 851 366 4 × 2 = 1 + 0,537 175 702 732 8;
  • 31) 0,537 175 702 732 8 × 2 = 1 + 0,074 351 405 465 6;
  • 32) 0,074 351 405 465 6 × 2 = 0 + 0,148 702 810 931 2;
  • 33) 0,148 702 810 931 2 × 2 = 0 + 0,297 405 621 862 4;
  • 34) 0,297 405 621 862 4 × 2 = 0 + 0,594 811 243 724 8;
  • 35) 0,594 811 243 724 8 × 2 = 1 + 0,189 622 487 449 6;
  • 36) 0,189 622 487 449 6 × 2 = 0 + 0,379 244 974 899 2;
  • 37) 0,379 244 974 899 2 × 2 = 0 + 0,758 489 949 798 4;
  • 38) 0,758 489 949 798 4 × 2 = 1 + 0,516 979 899 596 8;
  • 39) 0,516 979 899 596 8 × 2 = 1 + 0,033 959 799 193 6;
  • 40) 0,033 959 799 193 6 × 2 = 0 + 0,067 919 598 387 2;
  • 41) 0,067 919 598 387 2 × 2 = 0 + 0,135 839 196 774 4;
  • 42) 0,135 839 196 774 4 × 2 = 0 + 0,271 678 393 548 8;
  • 43) 0,271 678 393 548 8 × 2 = 0 + 0,543 356 787 097 6;
  • 44) 0,543 356 787 097 6 × 2 = 1 + 0,086 713 574 195 2;
  • 45) 0,086 713 574 195 2 × 2 = 0 + 0,173 427 148 390 4;
  • 46) 0,173 427 148 390 4 × 2 = 0 + 0,346 854 296 780 8;
  • 47) 0,346 854 296 780 8 × 2 = 0 + 0,693 708 593 561 6;
  • 48) 0,693 708 593 561 6 × 2 = 1 + 0,387 417 187 123 2;
  • 49) 0,387 417 187 123 2 × 2 = 0 + 0,774 834 374 246 4;
  • 50) 0,774 834 374 246 4 × 2 = 1 + 0,549 668 748 492 8;
  • 51) 0,549 668 748 492 8 × 2 = 1 + 0,099 337 496 985 6;
  • 52) 0,099 337 496 985 6 × 2 = 0 + 0,198 674 993 971 2;
  • 53) 0,198 674 993 971 2 × 2 = 0 + 0,397 349 987 942 4;
  • 54) 0,397 349 987 942 4 × 2 = 0 + 0,794 699 975 884 8;
  • 55) 0,794 699 975 884 8 × 2 = 1 + 0,589 399 951 769 6;
  • 56) 0,589 399 951 769 6 × 2 = 1 + 0,178 799 903 539 2;
  • 57) 0,178 799 903 539 2 × 2 = 0 + 0,357 599 807 078 4;
  • 58) 0,357 599 807 078 4 × 2 = 0 + 0,715 199 614 156 8;
  • 59) 0,715 199 614 156 8 × 2 = 1 + 0,430 399 228 313 6;
  • 60) 0,430 399 228 313 6 × 2 = 0 + 0,860 798 456 627 2;
  • 61) 0,860 798 456 627 2 × 2 = 1 + 0,721 596 913 254 4;
  • 62) 0,721 596 913 254 4 × 2 = 1 + 0,443 193 826 508 8;
  • 63) 0,443 193 826 508 8 × 2 = 0 + 0,886 387 653 017 6;
  • 64) 0,886 387 653 017 6 × 2 = 1 + 0,772 775 306 035 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 907 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 907 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 907 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 907 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0001 0001 0110 0011 0010 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 901 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100