-0,000 282 005 907 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 907 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 907 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 907 4| = 0,000 282 005 907 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 907 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 907 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 814 8;
  • 2) 0,000 564 011 814 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 629 6;
  • 3) 0,001 128 023 629 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 259 2;
  • 4) 0,002 256 047 259 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 518 4;
  • 5) 0,004 512 094 518 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 036 8;
  • 6) 0,009 024 189 036 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 073 6;
  • 7) 0,018 048 378 073 6 × 2 = 0 + 0,036 096 756 147 2;
  • 8) 0,036 096 756 147 2 × 2 = 0 + 0,072 193 512 294 4;
  • 9) 0,072 193 512 294 4 × 2 = 0 + 0,144 387 024 588 8;
  • 10) 0,144 387 024 588 8 × 2 = 0 + 0,288 774 049 177 6;
  • 11) 0,288 774 049 177 6 × 2 = 0 + 0,577 548 098 355 2;
  • 12) 0,577 548 098 355 2 × 2 = 1 + 0,155 096 196 710 4;
  • 13) 0,155 096 196 710 4 × 2 = 0 + 0,310 192 393 420 8;
  • 14) 0,310 192 393 420 8 × 2 = 0 + 0,620 384 786 841 6;
  • 15) 0,620 384 786 841 6 × 2 = 1 + 0,240 769 573 683 2;
  • 16) 0,240 769 573 683 2 × 2 = 0 + 0,481 539 147 366 4;
  • 17) 0,481 539 147 366 4 × 2 = 0 + 0,963 078 294 732 8;
  • 18) 0,963 078 294 732 8 × 2 = 1 + 0,926 156 589 465 6;
  • 19) 0,926 156 589 465 6 × 2 = 1 + 0,852 313 178 931 2;
  • 20) 0,852 313 178 931 2 × 2 = 1 + 0,704 626 357 862 4;
  • 21) 0,704 626 357 862 4 × 2 = 1 + 0,409 252 715 724 8;
  • 22) 0,409 252 715 724 8 × 2 = 0 + 0,818 505 431 449 6;
  • 23) 0,818 505 431 449 6 × 2 = 1 + 0,637 010 862 899 2;
  • 24) 0,637 010 862 899 2 × 2 = 1 + 0,274 021 725 798 4;
  • 25) 0,274 021 725 798 4 × 2 = 0 + 0,548 043 451 596 8;
  • 26) 0,548 043 451 596 8 × 2 = 1 + 0,096 086 903 193 6;
  • 27) 0,096 086 903 193 6 × 2 = 0 + 0,192 173 806 387 2;
  • 28) 0,192 173 806 387 2 × 2 = 0 + 0,384 347 612 774 4;
  • 29) 0,384 347 612 774 4 × 2 = 0 + 0,768 695 225 548 8;
  • 30) 0,768 695 225 548 8 × 2 = 1 + 0,537 390 451 097 6;
  • 31) 0,537 390 451 097 6 × 2 = 1 + 0,074 780 902 195 2;
  • 32) 0,074 780 902 195 2 × 2 = 0 + 0,149 561 804 390 4;
  • 33) 0,149 561 804 390 4 × 2 = 0 + 0,299 123 608 780 8;
  • 34) 0,299 123 608 780 8 × 2 = 0 + 0,598 247 217 561 6;
  • 35) 0,598 247 217 561 6 × 2 = 1 + 0,196 494 435 123 2;
  • 36) 0,196 494 435 123 2 × 2 = 0 + 0,392 988 870 246 4;
  • 37) 0,392 988 870 246 4 × 2 = 0 + 0,785 977 740 492 8;
  • 38) 0,785 977 740 492 8 × 2 = 1 + 0,571 955 480 985 6;
  • 39) 0,571 955 480 985 6 × 2 = 1 + 0,143 910 961 971 2;
  • 40) 0,143 910 961 971 2 × 2 = 0 + 0,287 821 923 942 4;
  • 41) 0,287 821 923 942 4 × 2 = 0 + 0,575 643 847 884 8;
  • 42) 0,575 643 847 884 8 × 2 = 1 + 0,151 287 695 769 6;
  • 43) 0,151 287 695 769 6 × 2 = 0 + 0,302 575 391 539 2;
  • 44) 0,302 575 391 539 2 × 2 = 0 + 0,605 150 783 078 4;
  • 45) 0,605 150 783 078 4 × 2 = 1 + 0,210 301 566 156 8;
  • 46) 0,210 301 566 156 8 × 2 = 0 + 0,420 603 132 313 6;
  • 47) 0,420 603 132 313 6 × 2 = 0 + 0,841 206 264 627 2;
  • 48) 0,841 206 264 627 2 × 2 = 1 + 0,682 412 529 254 4;
  • 49) 0,682 412 529 254 4 × 2 = 1 + 0,364 825 058 508 8;
  • 50) 0,364 825 058 508 8 × 2 = 0 + 0,729 650 117 017 6;
  • 51) 0,729 650 117 017 6 × 2 = 1 + 0,459 300 234 035 2;
  • 52) 0,459 300 234 035 2 × 2 = 0 + 0,918 600 468 070 4;
  • 53) 0,918 600 468 070 4 × 2 = 1 + 0,837 200 936 140 8;
  • 54) 0,837 200 936 140 8 × 2 = 1 + 0,674 401 872 281 6;
  • 55) 0,674 401 872 281 6 × 2 = 1 + 0,348 803 744 563 2;
  • 56) 0,348 803 744 563 2 × 2 = 0 + 0,697 607 489 126 4;
  • 57) 0,697 607 489 126 4 × 2 = 1 + 0,395 214 978 252 8;
  • 58) 0,395 214 978 252 8 × 2 = 0 + 0,790 429 956 505 6;
  • 59) 0,790 429 956 505 6 × 2 = 1 + 0,580 859 913 011 2;
  • 60) 0,580 859 913 011 2 × 2 = 1 + 0,161 719 826 022 4;
  • 61) 0,161 719 826 022 4 × 2 = 0 + 0,323 439 652 044 8;
  • 62) 0,323 439 652 044 8 × 2 = 0 + 0,646 879 304 089 6;
  • 63) 0,646 879 304 089 6 × 2 = 1 + 0,293 758 608 179 2;
  • 64) 0,293 758 608 179 2 × 2 = 0 + 0,587 517 216 358 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 907 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 907 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 907 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 907 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0110 0100 1001 1010 1110 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100