-0,000 282 005 908 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 908 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 908 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 908 4| = 0,000 282 005 908 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 908 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 908 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 816 8;
  • 2) 0,000 564 011 816 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 633 6;
  • 3) 0,001 128 023 633 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 267 2;
  • 4) 0,002 256 047 267 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 534 4;
  • 5) 0,004 512 094 534 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 068 8;
  • 6) 0,009 024 189 068 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 137 6;
  • 7) 0,018 048 378 137 6 × 2 = 0 + 0,036 096 756 275 2;
  • 8) 0,036 096 756 275 2 × 2 = 0 + 0,072 193 512 550 4;
  • 9) 0,072 193 512 550 4 × 2 = 0 + 0,144 387 025 100 8;
  • 10) 0,144 387 025 100 8 × 2 = 0 + 0,288 774 050 201 6;
  • 11) 0,288 774 050 201 6 × 2 = 0 + 0,577 548 100 403 2;
  • 12) 0,577 548 100 403 2 × 2 = 1 + 0,155 096 200 806 4;
  • 13) 0,155 096 200 806 4 × 2 = 0 + 0,310 192 401 612 8;
  • 14) 0,310 192 401 612 8 × 2 = 0 + 0,620 384 803 225 6;
  • 15) 0,620 384 803 225 6 × 2 = 1 + 0,240 769 606 451 2;
  • 16) 0,240 769 606 451 2 × 2 = 0 + 0,481 539 212 902 4;
  • 17) 0,481 539 212 902 4 × 2 = 0 + 0,963 078 425 804 8;
  • 18) 0,963 078 425 804 8 × 2 = 1 + 0,926 156 851 609 6;
  • 19) 0,926 156 851 609 6 × 2 = 1 + 0,852 313 703 219 2;
  • 20) 0,852 313 703 219 2 × 2 = 1 + 0,704 627 406 438 4;
  • 21) 0,704 627 406 438 4 × 2 = 1 + 0,409 254 812 876 8;
  • 22) 0,409 254 812 876 8 × 2 = 0 + 0,818 509 625 753 6;
  • 23) 0,818 509 625 753 6 × 2 = 1 + 0,637 019 251 507 2;
  • 24) 0,637 019 251 507 2 × 2 = 1 + 0,274 038 503 014 4;
  • 25) 0,274 038 503 014 4 × 2 = 0 + 0,548 077 006 028 8;
  • 26) 0,548 077 006 028 8 × 2 = 1 + 0,096 154 012 057 6;
  • 27) 0,096 154 012 057 6 × 2 = 0 + 0,192 308 024 115 2;
  • 28) 0,192 308 024 115 2 × 2 = 0 + 0,384 616 048 230 4;
  • 29) 0,384 616 048 230 4 × 2 = 0 + 0,769 232 096 460 8;
  • 30) 0,769 232 096 460 8 × 2 = 1 + 0,538 464 192 921 6;
  • 31) 0,538 464 192 921 6 × 2 = 1 + 0,076 928 385 843 2;
  • 32) 0,076 928 385 843 2 × 2 = 0 + 0,153 856 771 686 4;
  • 33) 0,153 856 771 686 4 × 2 = 0 + 0,307 713 543 372 8;
  • 34) 0,307 713 543 372 8 × 2 = 0 + 0,615 427 086 745 6;
  • 35) 0,615 427 086 745 6 × 2 = 1 + 0,230 854 173 491 2;
  • 36) 0,230 854 173 491 2 × 2 = 0 + 0,461 708 346 982 4;
  • 37) 0,461 708 346 982 4 × 2 = 0 + 0,923 416 693 964 8;
  • 38) 0,923 416 693 964 8 × 2 = 1 + 0,846 833 387 929 6;
  • 39) 0,846 833 387 929 6 × 2 = 1 + 0,693 666 775 859 2;
  • 40) 0,693 666 775 859 2 × 2 = 1 + 0,387 333 551 718 4;
  • 41) 0,387 333 551 718 4 × 2 = 0 + 0,774 667 103 436 8;
  • 42) 0,774 667 103 436 8 × 2 = 1 + 0,549 334 206 873 6;
  • 43) 0,549 334 206 873 6 × 2 = 1 + 0,098 668 413 747 2;
  • 44) 0,098 668 413 747 2 × 2 = 0 + 0,197 336 827 494 4;
  • 45) 0,197 336 827 494 4 × 2 = 0 + 0,394 673 654 988 8;
  • 46) 0,394 673 654 988 8 × 2 = 0 + 0,789 347 309 977 6;
  • 47) 0,789 347 309 977 6 × 2 = 1 + 0,578 694 619 955 2;
  • 48) 0,578 694 619 955 2 × 2 = 1 + 0,157 389 239 910 4;
  • 49) 0,157 389 239 910 4 × 2 = 0 + 0,314 778 479 820 8;
  • 50) 0,314 778 479 820 8 × 2 = 0 + 0,629 556 959 641 6;
  • 51) 0,629 556 959 641 6 × 2 = 1 + 0,259 113 919 283 2;
  • 52) 0,259 113 919 283 2 × 2 = 0 + 0,518 227 838 566 4;
  • 53) 0,518 227 838 566 4 × 2 = 1 + 0,036 455 677 132 8;
  • 54) 0,036 455 677 132 8 × 2 = 0 + 0,072 911 354 265 6;
  • 55) 0,072 911 354 265 6 × 2 = 0 + 0,145 822 708 531 2;
  • 56) 0,145 822 708 531 2 × 2 = 0 + 0,291 645 417 062 4;
  • 57) 0,291 645 417 062 4 × 2 = 0 + 0,583 290 834 124 8;
  • 58) 0,583 290 834 124 8 × 2 = 1 + 0,166 581 668 249 6;
  • 59) 0,166 581 668 249 6 × 2 = 0 + 0,333 163 336 499 2;
  • 60) 0,333 163 336 499 2 × 2 = 0 + 0,666 326 672 998 4;
  • 61) 0,666 326 672 998 4 × 2 = 1 + 0,332 653 345 996 8;
  • 62) 0,332 653 345 996 8 × 2 = 0 + 0,665 306 691 993 6;
  • 63) 0,665 306 691 993 6 × 2 = 1 + 0,330 613 383 987 2;
  • 64) 0,330 613 383 987 2 × 2 = 0 + 0,661 226 767 974 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 908 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 908 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 908 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 908 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 0111 0110 0011 0010 1000 0100 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 917 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100