-0,000 282 005 910 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 910 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 910 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 910 2| = 0,000 282 005 910 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 910 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 910 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 820 4;
  • 2) 0,000 564 011 820 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 640 8;
  • 3) 0,001 128 023 640 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 281 6;
  • 4) 0,002 256 047 281 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 563 2;
  • 5) 0,004 512 094 563 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 126 4;
  • 6) 0,009 024 189 126 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 252 8;
  • 7) 0,018 048 378 252 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 505 6;
  • 8) 0,036 096 756 505 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 011 2;
  • 9) 0,072 193 513 011 2 × 2 = 0 + 0,144 387 026 022 4;
  • 10) 0,144 387 026 022 4 × 2 = 0 + 0,288 774 052 044 8;
  • 11) 0,288 774 052 044 8 × 2 = 0 + 0,577 548 104 089 6;
  • 12) 0,577 548 104 089 6 × 2 = 1 + 0,155 096 208 179 2;
  • 13) 0,155 096 208 179 2 × 2 = 0 + 0,310 192 416 358 4;
  • 14) 0,310 192 416 358 4 × 2 = 0 + 0,620 384 832 716 8;
  • 15) 0,620 384 832 716 8 × 2 = 1 + 0,240 769 665 433 6;
  • 16) 0,240 769 665 433 6 × 2 = 0 + 0,481 539 330 867 2;
  • 17) 0,481 539 330 867 2 × 2 = 0 + 0,963 078 661 734 4;
  • 18) 0,963 078 661 734 4 × 2 = 1 + 0,926 157 323 468 8;
  • 19) 0,926 157 323 468 8 × 2 = 1 + 0,852 314 646 937 6;
  • 20) 0,852 314 646 937 6 × 2 = 1 + 0,704 629 293 875 2;
  • 21) 0,704 629 293 875 2 × 2 = 1 + 0,409 258 587 750 4;
  • 22) 0,409 258 587 750 4 × 2 = 0 + 0,818 517 175 500 8;
  • 23) 0,818 517 175 500 8 × 2 = 1 + 0,637 034 351 001 6;
  • 24) 0,637 034 351 001 6 × 2 = 1 + 0,274 068 702 003 2;
  • 25) 0,274 068 702 003 2 × 2 = 0 + 0,548 137 404 006 4;
  • 26) 0,548 137 404 006 4 × 2 = 1 + 0,096 274 808 012 8;
  • 27) 0,096 274 808 012 8 × 2 = 0 + 0,192 549 616 025 6;
  • 28) 0,192 549 616 025 6 × 2 = 0 + 0,385 099 232 051 2;
  • 29) 0,385 099 232 051 2 × 2 = 0 + 0,770 198 464 102 4;
  • 30) 0,770 198 464 102 4 × 2 = 1 + 0,540 396 928 204 8;
  • 31) 0,540 396 928 204 8 × 2 = 1 + 0,080 793 856 409 6;
  • 32) 0,080 793 856 409 6 × 2 = 0 + 0,161 587 712 819 2;
  • 33) 0,161 587 712 819 2 × 2 = 0 + 0,323 175 425 638 4;
  • 34) 0,323 175 425 638 4 × 2 = 0 + 0,646 350 851 276 8;
  • 35) 0,646 350 851 276 8 × 2 = 1 + 0,292 701 702 553 6;
  • 36) 0,292 701 702 553 6 × 2 = 0 + 0,585 403 405 107 2;
  • 37) 0,585 403 405 107 2 × 2 = 1 + 0,170 806 810 214 4;
  • 38) 0,170 806 810 214 4 × 2 = 0 + 0,341 613 620 428 8;
  • 39) 0,341 613 620 428 8 × 2 = 0 + 0,683 227 240 857 6;
  • 40) 0,683 227 240 857 6 × 2 = 1 + 0,366 454 481 715 2;
  • 41) 0,366 454 481 715 2 × 2 = 0 + 0,732 908 963 430 4;
  • 42) 0,732 908 963 430 4 × 2 = 1 + 0,465 817 926 860 8;
  • 43) 0,465 817 926 860 8 × 2 = 0 + 0,931 635 853 721 6;
  • 44) 0,931 635 853 721 6 × 2 = 1 + 0,863 271 707 443 2;
  • 45) 0,863 271 707 443 2 × 2 = 1 + 0,726 543 414 886 4;
  • 46) 0,726 543 414 886 4 × 2 = 1 + 0,453 086 829 772 8;
  • 47) 0,453 086 829 772 8 × 2 = 0 + 0,906 173 659 545 6;
  • 48) 0,906 173 659 545 6 × 2 = 1 + 0,812 347 319 091 2;
  • 49) 0,812 347 319 091 2 × 2 = 1 + 0,624 694 638 182 4;
  • 50) 0,624 694 638 182 4 × 2 = 1 + 0,249 389 276 364 8;
  • 51) 0,249 389 276 364 8 × 2 = 0 + 0,498 778 552 729 6;
  • 52) 0,498 778 552 729 6 × 2 = 0 + 0,997 557 105 459 2;
  • 53) 0,997 557 105 459 2 × 2 = 1 + 0,995 114 210 918 4;
  • 54) 0,995 114 210 918 4 × 2 = 1 + 0,990 228 421 836 8;
  • 55) 0,990 228 421 836 8 × 2 = 1 + 0,980 456 843 673 6;
  • 56) 0,980 456 843 673 6 × 2 = 1 + 0,960 913 687 347 2;
  • 57) 0,960 913 687 347 2 × 2 = 1 + 0,921 827 374 694 4;
  • 58) 0,921 827 374 694 4 × 2 = 1 + 0,843 654 749 388 8;
  • 59) 0,843 654 749 388 8 × 2 = 1 + 0,687 309 498 777 6;
  • 60) 0,687 309 498 777 6 × 2 = 1 + 0,374 618 997 555 2;
  • 61) 0,374 618 997 555 2 × 2 = 0 + 0,749 237 995 110 4;
  • 62) 0,749 237 995 110 4 × 2 = 1 + 0,498 475 990 220 8;
  • 63) 0,498 475 990 220 8 × 2 = 0 + 0,996 951 980 441 6;
  • 64) 0,996 951 980 441 6 × 2 = 1 + 0,993 903 960 883 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 910 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 910 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 910 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 910 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 0101 1101 1100 1111 1111 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100