-0,000 282 005 910 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 910 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 910 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 910 4| = 0,000 282 005 910 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 910 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 910 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 820 8;
  • 2) 0,000 564 011 820 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 641 6;
  • 3) 0,001 128 023 641 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 283 2;
  • 4) 0,002 256 047 283 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 566 4;
  • 5) 0,004 512 094 566 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 132 8;
  • 6) 0,009 024 189 132 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 265 6;
  • 7) 0,018 048 378 265 6 × 2 = 0 + 0,036 096 756 531 2;
  • 8) 0,036 096 756 531 2 × 2 = 0 + 0,072 193 513 062 4;
  • 9) 0,072 193 513 062 4 × 2 = 0 + 0,144 387 026 124 8;
  • 10) 0,144 387 026 124 8 × 2 = 0 + 0,288 774 052 249 6;
  • 11) 0,288 774 052 249 6 × 2 = 0 + 0,577 548 104 499 2;
  • 12) 0,577 548 104 499 2 × 2 = 1 + 0,155 096 208 998 4;
  • 13) 0,155 096 208 998 4 × 2 = 0 + 0,310 192 417 996 8;
  • 14) 0,310 192 417 996 8 × 2 = 0 + 0,620 384 835 993 6;
  • 15) 0,620 384 835 993 6 × 2 = 1 + 0,240 769 671 987 2;
  • 16) 0,240 769 671 987 2 × 2 = 0 + 0,481 539 343 974 4;
  • 17) 0,481 539 343 974 4 × 2 = 0 + 0,963 078 687 948 8;
  • 18) 0,963 078 687 948 8 × 2 = 1 + 0,926 157 375 897 6;
  • 19) 0,926 157 375 897 6 × 2 = 1 + 0,852 314 751 795 2;
  • 20) 0,852 314 751 795 2 × 2 = 1 + 0,704 629 503 590 4;
  • 21) 0,704 629 503 590 4 × 2 = 1 + 0,409 259 007 180 8;
  • 22) 0,409 259 007 180 8 × 2 = 0 + 0,818 518 014 361 6;
  • 23) 0,818 518 014 361 6 × 2 = 1 + 0,637 036 028 723 2;
  • 24) 0,637 036 028 723 2 × 2 = 1 + 0,274 072 057 446 4;
  • 25) 0,274 072 057 446 4 × 2 = 0 + 0,548 144 114 892 8;
  • 26) 0,548 144 114 892 8 × 2 = 1 + 0,096 288 229 785 6;
  • 27) 0,096 288 229 785 6 × 2 = 0 + 0,192 576 459 571 2;
  • 28) 0,192 576 459 571 2 × 2 = 0 + 0,385 152 919 142 4;
  • 29) 0,385 152 919 142 4 × 2 = 0 + 0,770 305 838 284 8;
  • 30) 0,770 305 838 284 8 × 2 = 1 + 0,540 611 676 569 6;
  • 31) 0,540 611 676 569 6 × 2 = 1 + 0,081 223 353 139 2;
  • 32) 0,081 223 353 139 2 × 2 = 0 + 0,162 446 706 278 4;
  • 33) 0,162 446 706 278 4 × 2 = 0 + 0,324 893 412 556 8;
  • 34) 0,324 893 412 556 8 × 2 = 0 + 0,649 786 825 113 6;
  • 35) 0,649 786 825 113 6 × 2 = 1 + 0,299 573 650 227 2;
  • 36) 0,299 573 650 227 2 × 2 = 0 + 0,599 147 300 454 4;
  • 37) 0,599 147 300 454 4 × 2 = 1 + 0,198 294 600 908 8;
  • 38) 0,198 294 600 908 8 × 2 = 0 + 0,396 589 201 817 6;
  • 39) 0,396 589 201 817 6 × 2 = 0 + 0,793 178 403 635 2;
  • 40) 0,793 178 403 635 2 × 2 = 1 + 0,586 356 807 270 4;
  • 41) 0,586 356 807 270 4 × 2 = 1 + 0,172 713 614 540 8;
  • 42) 0,172 713 614 540 8 × 2 = 0 + 0,345 427 229 081 6;
  • 43) 0,345 427 229 081 6 × 2 = 0 + 0,690 854 458 163 2;
  • 44) 0,690 854 458 163 2 × 2 = 1 + 0,381 708 916 326 4;
  • 45) 0,381 708 916 326 4 × 2 = 0 + 0,763 417 832 652 8;
  • 46) 0,763 417 832 652 8 × 2 = 1 + 0,526 835 665 305 6;
  • 47) 0,526 835 665 305 6 × 2 = 1 + 0,053 671 330 611 2;
  • 48) 0,053 671 330 611 2 × 2 = 0 + 0,107 342 661 222 4;
  • 49) 0,107 342 661 222 4 × 2 = 0 + 0,214 685 322 444 8;
  • 50) 0,214 685 322 444 8 × 2 = 0 + 0,429 370 644 889 6;
  • 51) 0,429 370 644 889 6 × 2 = 0 + 0,858 741 289 779 2;
  • 52) 0,858 741 289 779 2 × 2 = 1 + 0,717 482 579 558 4;
  • 53) 0,717 482 579 558 4 × 2 = 1 + 0,434 965 159 116 8;
  • 54) 0,434 965 159 116 8 × 2 = 0 + 0,869 930 318 233 6;
  • 55) 0,869 930 318 233 6 × 2 = 1 + 0,739 860 636 467 2;
  • 56) 0,739 860 636 467 2 × 2 = 1 + 0,479 721 272 934 4;
  • 57) 0,479 721 272 934 4 × 2 = 0 + 0,959 442 545 868 8;
  • 58) 0,959 442 545 868 8 × 2 = 1 + 0,918 885 091 737 6;
  • 59) 0,918 885 091 737 6 × 2 = 1 + 0,837 770 183 475 2;
  • 60) 0,837 770 183 475 2 × 2 = 1 + 0,675 540 366 950 4;
  • 61) 0,675 540 366 950 4 × 2 = 1 + 0,351 080 733 900 8;
  • 62) 0,351 080 733 900 8 × 2 = 0 + 0,702 161 467 801 6;
  • 63) 0,702 161 467 801 6 × 2 = 1 + 0,404 322 935 603 2;
  • 64) 0,404 322 935 603 2 × 2 = 0 + 0,808 645 871 206 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 910 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 910 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 910 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 910 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1001 1001 0110 0001 1011 0111 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 906 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100