-0,000 282 005 911 09 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 09(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 09(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 09| = 0,000 282 005 911 09


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 09.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 09 × 2 = 0 + 0,000 564 011 822 18;
  • 2) 0,000 564 011 822 18 × 2 = 0 + 0,001 128 023 644 36;
  • 3) 0,001 128 023 644 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 288 72;
  • 4) 0,002 256 047 288 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 577 44;
  • 5) 0,004 512 094 577 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 154 88;
  • 6) 0,009 024 189 154 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 309 76;
  • 7) 0,018 048 378 309 76 × 2 = 0 + 0,036 096 756 619 52;
  • 8) 0,036 096 756 619 52 × 2 = 0 + 0,072 193 513 239 04;
  • 9) 0,072 193 513 239 04 × 2 = 0 + 0,144 387 026 478 08;
  • 10) 0,144 387 026 478 08 × 2 = 0 + 0,288 774 052 956 16;
  • 11) 0,288 774 052 956 16 × 2 = 0 + 0,577 548 105 912 32;
  • 12) 0,577 548 105 912 32 × 2 = 1 + 0,155 096 211 824 64;
  • 13) 0,155 096 211 824 64 × 2 = 0 + 0,310 192 423 649 28;
  • 14) 0,310 192 423 649 28 × 2 = 0 + 0,620 384 847 298 56;
  • 15) 0,620 384 847 298 56 × 2 = 1 + 0,240 769 694 597 12;
  • 16) 0,240 769 694 597 12 × 2 = 0 + 0,481 539 389 194 24;
  • 17) 0,481 539 389 194 24 × 2 = 0 + 0,963 078 778 388 48;
  • 18) 0,963 078 778 388 48 × 2 = 1 + 0,926 157 556 776 96;
  • 19) 0,926 157 556 776 96 × 2 = 1 + 0,852 315 113 553 92;
  • 20) 0,852 315 113 553 92 × 2 = 1 + 0,704 630 227 107 84;
  • 21) 0,704 630 227 107 84 × 2 = 1 + 0,409 260 454 215 68;
  • 22) 0,409 260 454 215 68 × 2 = 0 + 0,818 520 908 431 36;
  • 23) 0,818 520 908 431 36 × 2 = 1 + 0,637 041 816 862 72;
  • 24) 0,637 041 816 862 72 × 2 = 1 + 0,274 083 633 725 44;
  • 25) 0,274 083 633 725 44 × 2 = 0 + 0,548 167 267 450 88;
  • 26) 0,548 167 267 450 88 × 2 = 1 + 0,096 334 534 901 76;
  • 27) 0,096 334 534 901 76 × 2 = 0 + 0,192 669 069 803 52;
  • 28) 0,192 669 069 803 52 × 2 = 0 + 0,385 338 139 607 04;
  • 29) 0,385 338 139 607 04 × 2 = 0 + 0,770 676 279 214 08;
  • 30) 0,770 676 279 214 08 × 2 = 1 + 0,541 352 558 428 16;
  • 31) 0,541 352 558 428 16 × 2 = 1 + 0,082 705 116 856 32;
  • 32) 0,082 705 116 856 32 × 2 = 0 + 0,165 410 233 712 64;
  • 33) 0,165 410 233 712 64 × 2 = 0 + 0,330 820 467 425 28;
  • 34) 0,330 820 467 425 28 × 2 = 0 + 0,661 640 934 850 56;
  • 35) 0,661 640 934 850 56 × 2 = 1 + 0,323 281 869 701 12;
  • 36) 0,323 281 869 701 12 × 2 = 0 + 0,646 563 739 402 24;
  • 37) 0,646 563 739 402 24 × 2 = 1 + 0,293 127 478 804 48;
  • 38) 0,293 127 478 804 48 × 2 = 0 + 0,586 254 957 608 96;
  • 39) 0,586 254 957 608 96 × 2 = 1 + 0,172 509 915 217 92;
  • 40) 0,172 509 915 217 92 × 2 = 0 + 0,345 019 830 435 84;
  • 41) 0,345 019 830 435 84 × 2 = 0 + 0,690 039 660 871 68;
  • 42) 0,690 039 660 871 68 × 2 = 1 + 0,380 079 321 743 36;
  • 43) 0,380 079 321 743 36 × 2 = 0 + 0,760 158 643 486 72;
  • 44) 0,760 158 643 486 72 × 2 = 1 + 0,520 317 286 973 44;
  • 45) 0,520 317 286 973 44 × 2 = 1 + 0,040 634 573 946 88;
  • 46) 0,040 634 573 946 88 × 2 = 0 + 0,081 269 147 893 76;
  • 47) 0,081 269 147 893 76 × 2 = 0 + 0,162 538 295 787 52;
  • 48) 0,162 538 295 787 52 × 2 = 0 + 0,325 076 591 575 04;
  • 49) 0,325 076 591 575 04 × 2 = 0 + 0,650 153 183 150 08;
  • 50) 0,650 153 183 150 08 × 2 = 1 + 0,300 306 366 300 16;
  • 51) 0,300 306 366 300 16 × 2 = 0 + 0,600 612 732 600 32;
  • 52) 0,600 612 732 600 32 × 2 = 1 + 0,201 225 465 200 64;
  • 53) 0,201 225 465 200 64 × 2 = 0 + 0,402 450 930 401 28;
  • 54) 0,402 450 930 401 28 × 2 = 0 + 0,804 901 860 802 56;
  • 55) 0,804 901 860 802 56 × 2 = 1 + 0,609 803 721 605 12;
  • 56) 0,609 803 721 605 12 × 2 = 1 + 0,219 607 443 210 24;
  • 57) 0,219 607 443 210 24 × 2 = 0 + 0,439 214 886 420 48;
  • 58) 0,439 214 886 420 48 × 2 = 0 + 0,878 429 772 840 96;
  • 59) 0,878 429 772 840 96 × 2 = 1 + 0,756 859 545 681 92;
  • 60) 0,756 859 545 681 92 × 2 = 1 + 0,513 719 091 363 84;
  • 61) 0,513 719 091 363 84 × 2 = 1 + 0,027 438 182 727 68;
  • 62) 0,027 438 182 727 68 × 2 = 0 + 0,054 876 365 455 36;
  • 63) 0,054 876 365 455 36 × 2 = 0 + 0,109 752 730 910 72;
  • 64) 0,109 752 730 910 72 × 2 = 0 + 0,219 505 461 821 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 09 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 0101 1000 0101 0011 0011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 25 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100