-0,000 282 005 911 34 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 34(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 34(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 34| = 0,000 282 005 911 34


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 34.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 34 × 2 = 0 + 0,000 564 011 822 68;
  • 2) 0,000 564 011 822 68 × 2 = 0 + 0,001 128 023 645 36;
  • 3) 0,001 128 023 645 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 290 72;
  • 4) 0,002 256 047 290 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 581 44;
  • 5) 0,004 512 094 581 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 162 88;
  • 6) 0,009 024 189 162 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 325 76;
  • 7) 0,018 048 378 325 76 × 2 = 0 + 0,036 096 756 651 52;
  • 8) 0,036 096 756 651 52 × 2 = 0 + 0,072 193 513 303 04;
  • 9) 0,072 193 513 303 04 × 2 = 0 + 0,144 387 026 606 08;
  • 10) 0,144 387 026 606 08 × 2 = 0 + 0,288 774 053 212 16;
  • 11) 0,288 774 053 212 16 × 2 = 0 + 0,577 548 106 424 32;
  • 12) 0,577 548 106 424 32 × 2 = 1 + 0,155 096 212 848 64;
  • 13) 0,155 096 212 848 64 × 2 = 0 + 0,310 192 425 697 28;
  • 14) 0,310 192 425 697 28 × 2 = 0 + 0,620 384 851 394 56;
  • 15) 0,620 384 851 394 56 × 2 = 1 + 0,240 769 702 789 12;
  • 16) 0,240 769 702 789 12 × 2 = 0 + 0,481 539 405 578 24;
  • 17) 0,481 539 405 578 24 × 2 = 0 + 0,963 078 811 156 48;
  • 18) 0,963 078 811 156 48 × 2 = 1 + 0,926 157 622 312 96;
  • 19) 0,926 157 622 312 96 × 2 = 1 + 0,852 315 244 625 92;
  • 20) 0,852 315 244 625 92 × 2 = 1 + 0,704 630 489 251 84;
  • 21) 0,704 630 489 251 84 × 2 = 1 + 0,409 260 978 503 68;
  • 22) 0,409 260 978 503 68 × 2 = 0 + 0,818 521 957 007 36;
  • 23) 0,818 521 957 007 36 × 2 = 1 + 0,637 043 914 014 72;
  • 24) 0,637 043 914 014 72 × 2 = 1 + 0,274 087 828 029 44;
  • 25) 0,274 087 828 029 44 × 2 = 0 + 0,548 175 656 058 88;
  • 26) 0,548 175 656 058 88 × 2 = 1 + 0,096 351 312 117 76;
  • 27) 0,096 351 312 117 76 × 2 = 0 + 0,192 702 624 235 52;
  • 28) 0,192 702 624 235 52 × 2 = 0 + 0,385 405 248 471 04;
  • 29) 0,385 405 248 471 04 × 2 = 0 + 0,770 810 496 942 08;
  • 30) 0,770 810 496 942 08 × 2 = 1 + 0,541 620 993 884 16;
  • 31) 0,541 620 993 884 16 × 2 = 1 + 0,083 241 987 768 32;
  • 32) 0,083 241 987 768 32 × 2 = 0 + 0,166 483 975 536 64;
  • 33) 0,166 483 975 536 64 × 2 = 0 + 0,332 967 951 073 28;
  • 34) 0,332 967 951 073 28 × 2 = 0 + 0,665 935 902 146 56;
  • 35) 0,665 935 902 146 56 × 2 = 1 + 0,331 871 804 293 12;
  • 36) 0,331 871 804 293 12 × 2 = 0 + 0,663 743 608 586 24;
  • 37) 0,663 743 608 586 24 × 2 = 1 + 0,327 487 217 172 48;
  • 38) 0,327 487 217 172 48 × 2 = 0 + 0,654 974 434 344 96;
  • 39) 0,654 974 434 344 96 × 2 = 1 + 0,309 948 868 689 92;
  • 40) 0,309 948 868 689 92 × 2 = 0 + 0,619 897 737 379 84;
  • 41) 0,619 897 737 379 84 × 2 = 1 + 0,239 795 474 759 68;
  • 42) 0,239 795 474 759 68 × 2 = 0 + 0,479 590 949 519 36;
  • 43) 0,479 590 949 519 36 × 2 = 0 + 0,959 181 899 038 72;
  • 44) 0,959 181 899 038 72 × 2 = 1 + 0,918 363 798 077 44;
  • 45) 0,918 363 798 077 44 × 2 = 1 + 0,836 727 596 154 88;
  • 46) 0,836 727 596 154 88 × 2 = 1 + 0,673 455 192 309 76;
  • 47) 0,673 455 192 309 76 × 2 = 1 + 0,346 910 384 619 52;
  • 48) 0,346 910 384 619 52 × 2 = 0 + 0,693 820 769 239 04;
  • 49) 0,693 820 769 239 04 × 2 = 1 + 0,387 641 538 478 08;
  • 50) 0,387 641 538 478 08 × 2 = 0 + 0,775 283 076 956 16;
  • 51) 0,775 283 076 956 16 × 2 = 1 + 0,550 566 153 912 32;
  • 52) 0,550 566 153 912 32 × 2 = 1 + 0,101 132 307 824 64;
  • 53) 0,101 132 307 824 64 × 2 = 0 + 0,202 264 615 649 28;
  • 54) 0,202 264 615 649 28 × 2 = 0 + 0,404 529 231 298 56;
  • 55) 0,404 529 231 298 56 × 2 = 0 + 0,809 058 462 597 12;
  • 56) 0,809 058 462 597 12 × 2 = 1 + 0,618 116 925 194 24;
  • 57) 0,618 116 925 194 24 × 2 = 1 + 0,236 233 850 388 48;
  • 58) 0,236 233 850 388 48 × 2 = 0 + 0,472 467 700 776 96;
  • 59) 0,472 467 700 776 96 × 2 = 0 + 0,944 935 401 553 92;
  • 60) 0,944 935 401 553 92 × 2 = 1 + 0,889 870 803 107 84;
  • 61) 0,889 870 803 107 84 × 2 = 1 + 0,779 741 606 215 68;
  • 62) 0,779 741 606 215 68 × 2 = 1 + 0,559 483 212 431 36;
  • 63) 0,559 483 212 431 36 × 2 = 1 + 0,118 966 424 862 72;
  • 64) 0,118 966 424 862 72 × 2 = 0 + 0,237 932 849 725 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 34 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1001 1110 1011 0001 1001 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100