-0,000 282 005 911 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 37| = 0,000 282 005 911 37


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 37 × 2 = 0 + 0,000 564 011 822 74;
  • 2) 0,000 564 011 822 74 × 2 = 0 + 0,001 128 023 645 48;
  • 3) 0,001 128 023 645 48 × 2 = 0 + 0,002 256 047 290 96;
  • 4) 0,002 256 047 290 96 × 2 = 0 + 0,004 512 094 581 92;
  • 5) 0,004 512 094 581 92 × 2 = 0 + 0,009 024 189 163 84;
  • 6) 0,009 024 189 163 84 × 2 = 0 + 0,018 048 378 327 68;
  • 7) 0,018 048 378 327 68 × 2 = 0 + 0,036 096 756 655 36;
  • 8) 0,036 096 756 655 36 × 2 = 0 + 0,072 193 513 310 72;
  • 9) 0,072 193 513 310 72 × 2 = 0 + 0,144 387 026 621 44;
  • 10) 0,144 387 026 621 44 × 2 = 0 + 0,288 774 053 242 88;
  • 11) 0,288 774 053 242 88 × 2 = 0 + 0,577 548 106 485 76;
  • 12) 0,577 548 106 485 76 × 2 = 1 + 0,155 096 212 971 52;
  • 13) 0,155 096 212 971 52 × 2 = 0 + 0,310 192 425 943 04;
  • 14) 0,310 192 425 943 04 × 2 = 0 + 0,620 384 851 886 08;
  • 15) 0,620 384 851 886 08 × 2 = 1 + 0,240 769 703 772 16;
  • 16) 0,240 769 703 772 16 × 2 = 0 + 0,481 539 407 544 32;
  • 17) 0,481 539 407 544 32 × 2 = 0 + 0,963 078 815 088 64;
  • 18) 0,963 078 815 088 64 × 2 = 1 + 0,926 157 630 177 28;
  • 19) 0,926 157 630 177 28 × 2 = 1 + 0,852 315 260 354 56;
  • 20) 0,852 315 260 354 56 × 2 = 1 + 0,704 630 520 709 12;
  • 21) 0,704 630 520 709 12 × 2 = 1 + 0,409 261 041 418 24;
  • 22) 0,409 261 041 418 24 × 2 = 0 + 0,818 522 082 836 48;
  • 23) 0,818 522 082 836 48 × 2 = 1 + 0,637 044 165 672 96;
  • 24) 0,637 044 165 672 96 × 2 = 1 + 0,274 088 331 345 92;
  • 25) 0,274 088 331 345 92 × 2 = 0 + 0,548 176 662 691 84;
  • 26) 0,548 176 662 691 84 × 2 = 1 + 0,096 353 325 383 68;
  • 27) 0,096 353 325 383 68 × 2 = 0 + 0,192 706 650 767 36;
  • 28) 0,192 706 650 767 36 × 2 = 0 + 0,385 413 301 534 72;
  • 29) 0,385 413 301 534 72 × 2 = 0 + 0,770 826 603 069 44;
  • 30) 0,770 826 603 069 44 × 2 = 1 + 0,541 653 206 138 88;
  • 31) 0,541 653 206 138 88 × 2 = 1 + 0,083 306 412 277 76;
  • 32) 0,083 306 412 277 76 × 2 = 0 + 0,166 612 824 555 52;
  • 33) 0,166 612 824 555 52 × 2 = 0 + 0,333 225 649 111 04;
  • 34) 0,333 225 649 111 04 × 2 = 0 + 0,666 451 298 222 08;
  • 35) 0,666 451 298 222 08 × 2 = 1 + 0,332 902 596 444 16;
  • 36) 0,332 902 596 444 16 × 2 = 0 + 0,665 805 192 888 32;
  • 37) 0,665 805 192 888 32 × 2 = 1 + 0,331 610 385 776 64;
  • 38) 0,331 610 385 776 64 × 2 = 0 + 0,663 220 771 553 28;
  • 39) 0,663 220 771 553 28 × 2 = 1 + 0,326 441 543 106 56;
  • 40) 0,326 441 543 106 56 × 2 = 0 + 0,652 883 086 213 12;
  • 41) 0,652 883 086 213 12 × 2 = 1 + 0,305 766 172 426 24;
  • 42) 0,305 766 172 426 24 × 2 = 0 + 0,611 532 344 852 48;
  • 43) 0,611 532 344 852 48 × 2 = 1 + 0,223 064 689 704 96;
  • 44) 0,223 064 689 704 96 × 2 = 0 + 0,446 129 379 409 92;
  • 45) 0,446 129 379 409 92 × 2 = 0 + 0,892 258 758 819 84;
  • 46) 0,892 258 758 819 84 × 2 = 1 + 0,784 517 517 639 68;
  • 47) 0,784 517 517 639 68 × 2 = 1 + 0,569 035 035 279 36;
  • 48) 0,569 035 035 279 36 × 2 = 1 + 0,138 070 070 558 72;
  • 49) 0,138 070 070 558 72 × 2 = 0 + 0,276 140 141 117 44;
  • 50) 0,276 140 141 117 44 × 2 = 0 + 0,552 280 282 234 88;
  • 51) 0,552 280 282 234 88 × 2 = 1 + 0,104 560 564 469 76;
  • 52) 0,104 560 564 469 76 × 2 = 0 + 0,209 121 128 939 52;
  • 53) 0,209 121 128 939 52 × 2 = 0 + 0,418 242 257 879 04;
  • 54) 0,418 242 257 879 04 × 2 = 0 + 0,836 484 515 758 08;
  • 55) 0,836 484 515 758 08 × 2 = 1 + 0,672 969 031 516 16;
  • 56) 0,672 969 031 516 16 × 2 = 1 + 0,345 938 063 032 32;
  • 57) 0,345 938 063 032 32 × 2 = 0 + 0,691 876 126 064 64;
  • 58) 0,691 876 126 064 64 × 2 = 1 + 0,383 752 252 129 28;
  • 59) 0,383 752 252 129 28 × 2 = 0 + 0,767 504 504 258 56;
  • 60) 0,767 504 504 258 56 × 2 = 1 + 0,535 009 008 517 12;
  • 61) 0,535 009 008 517 12 × 2 = 1 + 0,070 018 017 034 24;
  • 62) 0,070 018 017 034 24 × 2 = 0 + 0,140 036 034 068 48;
  • 63) 0,140 036 034 068 48 × 2 = 0 + 0,280 072 068 136 96;
  • 64) 0,280 072 068 136 96 × 2 = 0 + 0,560 144 136 273 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 37(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1010 1010 0111 0010 0011 0101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100