-0,000 282 005 911 94 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 911 94(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 911 94(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 911 94| = 0,000 282 005 911 94


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 911 94.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 911 94 × 2 = 0 + 0,000 564 011 823 88;
  • 2) 0,000 564 011 823 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 647 76;
  • 3) 0,001 128 023 647 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 295 52;
  • 4) 0,002 256 047 295 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 591 04;
  • 5) 0,004 512 094 591 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 182 08;
  • 6) 0,009 024 189 182 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 364 16;
  • 7) 0,018 048 378 364 16 × 2 = 0 + 0,036 096 756 728 32;
  • 8) 0,036 096 756 728 32 × 2 = 0 + 0,072 193 513 456 64;
  • 9) 0,072 193 513 456 64 × 2 = 0 + 0,144 387 026 913 28;
  • 10) 0,144 387 026 913 28 × 2 = 0 + 0,288 774 053 826 56;
  • 11) 0,288 774 053 826 56 × 2 = 0 + 0,577 548 107 653 12;
  • 12) 0,577 548 107 653 12 × 2 = 1 + 0,155 096 215 306 24;
  • 13) 0,155 096 215 306 24 × 2 = 0 + 0,310 192 430 612 48;
  • 14) 0,310 192 430 612 48 × 2 = 0 + 0,620 384 861 224 96;
  • 15) 0,620 384 861 224 96 × 2 = 1 + 0,240 769 722 449 92;
  • 16) 0,240 769 722 449 92 × 2 = 0 + 0,481 539 444 899 84;
  • 17) 0,481 539 444 899 84 × 2 = 0 + 0,963 078 889 799 68;
  • 18) 0,963 078 889 799 68 × 2 = 1 + 0,926 157 779 599 36;
  • 19) 0,926 157 779 599 36 × 2 = 1 + 0,852 315 559 198 72;
  • 20) 0,852 315 559 198 72 × 2 = 1 + 0,704 631 118 397 44;
  • 21) 0,704 631 118 397 44 × 2 = 1 + 0,409 262 236 794 88;
  • 22) 0,409 262 236 794 88 × 2 = 0 + 0,818 524 473 589 76;
  • 23) 0,818 524 473 589 76 × 2 = 1 + 0,637 048 947 179 52;
  • 24) 0,637 048 947 179 52 × 2 = 1 + 0,274 097 894 359 04;
  • 25) 0,274 097 894 359 04 × 2 = 0 + 0,548 195 788 718 08;
  • 26) 0,548 195 788 718 08 × 2 = 1 + 0,096 391 577 436 16;
  • 27) 0,096 391 577 436 16 × 2 = 0 + 0,192 783 154 872 32;
  • 28) 0,192 783 154 872 32 × 2 = 0 + 0,385 566 309 744 64;
  • 29) 0,385 566 309 744 64 × 2 = 0 + 0,771 132 619 489 28;
  • 30) 0,771 132 619 489 28 × 2 = 1 + 0,542 265 238 978 56;
  • 31) 0,542 265 238 978 56 × 2 = 1 + 0,084 530 477 957 12;
  • 32) 0,084 530 477 957 12 × 2 = 0 + 0,169 060 955 914 24;
  • 33) 0,169 060 955 914 24 × 2 = 0 + 0,338 121 911 828 48;
  • 34) 0,338 121 911 828 48 × 2 = 0 + 0,676 243 823 656 96;
  • 35) 0,676 243 823 656 96 × 2 = 1 + 0,352 487 647 313 92;
  • 36) 0,352 487 647 313 92 × 2 = 0 + 0,704 975 294 627 84;
  • 37) 0,704 975 294 627 84 × 2 = 1 + 0,409 950 589 255 68;
  • 38) 0,409 950 589 255 68 × 2 = 0 + 0,819 901 178 511 36;
  • 39) 0,819 901 178 511 36 × 2 = 1 + 0,639 802 357 022 72;
  • 40) 0,639 802 357 022 72 × 2 = 1 + 0,279 604 714 045 44;
  • 41) 0,279 604 714 045 44 × 2 = 0 + 0,559 209 428 090 88;
  • 42) 0,559 209 428 090 88 × 2 = 1 + 0,118 418 856 181 76;
  • 43) 0,118 418 856 181 76 × 2 = 0 + 0,236 837 712 363 52;
  • 44) 0,236 837 712 363 52 × 2 = 0 + 0,473 675 424 727 04;
  • 45) 0,473 675 424 727 04 × 2 = 0 + 0,947 350 849 454 08;
  • 46) 0,947 350 849 454 08 × 2 = 1 + 0,894 701 698 908 16;
  • 47) 0,894 701 698 908 16 × 2 = 1 + 0,789 403 397 816 32;
  • 48) 0,789 403 397 816 32 × 2 = 1 + 0,578 806 795 632 64;
  • 49) 0,578 806 795 632 64 × 2 = 1 + 0,157 613 591 265 28;
  • 50) 0,157 613 591 265 28 × 2 = 0 + 0,315 227 182 530 56;
  • 51) 0,315 227 182 530 56 × 2 = 0 + 0,630 454 365 061 12;
  • 52) 0,630 454 365 061 12 × 2 = 1 + 0,260 908 730 122 24;
  • 53) 0,260 908 730 122 24 × 2 = 0 + 0,521 817 460 244 48;
  • 54) 0,521 817 460 244 48 × 2 = 1 + 0,043 634 920 488 96;
  • 55) 0,043 634 920 488 96 × 2 = 0 + 0,087 269 840 977 92;
  • 56) 0,087 269 840 977 92 × 2 = 0 + 0,174 539 681 955 84;
  • 57) 0,174 539 681 955 84 × 2 = 0 + 0,349 079 363 911 68;
  • 58) 0,349 079 363 911 68 × 2 = 0 + 0,698 158 727 823 36;
  • 59) 0,698 158 727 823 36 × 2 = 1 + 0,396 317 455 646 72;
  • 60) 0,396 317 455 646 72 × 2 = 0 + 0,792 634 911 293 44;
  • 61) 0,792 634 911 293 44 × 2 = 1 + 0,585 269 822 586 88;
  • 62) 0,585 269 822 586 88 × 2 = 1 + 0,170 539 645 173 76;
  • 63) 0,170 539 645 173 76 × 2 = 0 + 0,341 079 290 347 52;
  • 64) 0,341 079 290 347 52 × 2 = 0 + 0,682 158 580 695 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 911 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 911 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 911 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 911 94 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 0100 0111 1001 0100 0010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100