-0,000 282 005 912 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 2| = 0,000 282 005 912 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 4;
  • 2) 0,000 564 011 824 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 648 8;
  • 3) 0,001 128 023 648 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 297 6;
  • 4) 0,002 256 047 297 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 595 2;
  • 5) 0,004 512 094 595 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 190 4;
  • 6) 0,009 024 189 190 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 380 8;
  • 7) 0,018 048 378 380 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 761 6;
  • 8) 0,036 096 756 761 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 523 2;
  • 9) 0,072 193 513 523 2 × 2 = 0 + 0,144 387 027 046 4;
  • 10) 0,144 387 027 046 4 × 2 = 0 + 0,288 774 054 092 8;
  • 11) 0,288 774 054 092 8 × 2 = 0 + 0,577 548 108 185 6;
  • 12) 0,577 548 108 185 6 × 2 = 1 + 0,155 096 216 371 2;
  • 13) 0,155 096 216 371 2 × 2 = 0 + 0,310 192 432 742 4;
  • 14) 0,310 192 432 742 4 × 2 = 0 + 0,620 384 865 484 8;
  • 15) 0,620 384 865 484 8 × 2 = 1 + 0,240 769 730 969 6;
  • 16) 0,240 769 730 969 6 × 2 = 0 + 0,481 539 461 939 2;
  • 17) 0,481 539 461 939 2 × 2 = 0 + 0,963 078 923 878 4;
  • 18) 0,963 078 923 878 4 × 2 = 1 + 0,926 157 847 756 8;
  • 19) 0,926 157 847 756 8 × 2 = 1 + 0,852 315 695 513 6;
  • 20) 0,852 315 695 513 6 × 2 = 1 + 0,704 631 391 027 2;
  • 21) 0,704 631 391 027 2 × 2 = 1 + 0,409 262 782 054 4;
  • 22) 0,409 262 782 054 4 × 2 = 0 + 0,818 525 564 108 8;
  • 23) 0,818 525 564 108 8 × 2 = 1 + 0,637 051 128 217 6;
  • 24) 0,637 051 128 217 6 × 2 = 1 + 0,274 102 256 435 2;
  • 25) 0,274 102 256 435 2 × 2 = 0 + 0,548 204 512 870 4;
  • 26) 0,548 204 512 870 4 × 2 = 1 + 0,096 409 025 740 8;
  • 27) 0,096 409 025 740 8 × 2 = 0 + 0,192 818 051 481 6;
  • 28) 0,192 818 051 481 6 × 2 = 0 + 0,385 636 102 963 2;
  • 29) 0,385 636 102 963 2 × 2 = 0 + 0,771 272 205 926 4;
  • 30) 0,771 272 205 926 4 × 2 = 1 + 0,542 544 411 852 8;
  • 31) 0,542 544 411 852 8 × 2 = 1 + 0,085 088 823 705 6;
  • 32) 0,085 088 823 705 6 × 2 = 0 + 0,170 177 647 411 2;
  • 33) 0,170 177 647 411 2 × 2 = 0 + 0,340 355 294 822 4;
  • 34) 0,340 355 294 822 4 × 2 = 0 + 0,680 710 589 644 8;
  • 35) 0,680 710 589 644 8 × 2 = 1 + 0,361 421 179 289 6;
  • 36) 0,361 421 179 289 6 × 2 = 0 + 0,722 842 358 579 2;
  • 37) 0,722 842 358 579 2 × 2 = 1 + 0,445 684 717 158 4;
  • 38) 0,445 684 717 158 4 × 2 = 0 + 0,891 369 434 316 8;
  • 39) 0,891 369 434 316 8 × 2 = 1 + 0,782 738 868 633 6;
  • 40) 0,782 738 868 633 6 × 2 = 1 + 0,565 477 737 267 2;
  • 41) 0,565 477 737 267 2 × 2 = 1 + 0,130 955 474 534 4;
  • 42) 0,130 955 474 534 4 × 2 = 0 + 0,261 910 949 068 8;
  • 43) 0,261 910 949 068 8 × 2 = 0 + 0,523 821 898 137 6;
  • 44) 0,523 821 898 137 6 × 2 = 1 + 0,047 643 796 275 2;
  • 45) 0,047 643 796 275 2 × 2 = 0 + 0,095 287 592 550 4;
  • 46) 0,095 287 592 550 4 × 2 = 0 + 0,190 575 185 100 8;
  • 47) 0,190 575 185 100 8 × 2 = 0 + 0,381 150 370 201 6;
  • 48) 0,381 150 370 201 6 × 2 = 0 + 0,762 300 740 403 2;
  • 49) 0,762 300 740 403 2 × 2 = 1 + 0,524 601 480 806 4;
  • 50) 0,524 601 480 806 4 × 2 = 1 + 0,049 202 961 612 8;
  • 51) 0,049 202 961 612 8 × 2 = 0 + 0,098 405 923 225 6;
  • 52) 0,098 405 923 225 6 × 2 = 0 + 0,196 811 846 451 2;
  • 53) 0,196 811 846 451 2 × 2 = 0 + 0,393 623 692 902 4;
  • 54) 0,393 623 692 902 4 × 2 = 0 + 0,787 247 385 804 8;
  • 55) 0,787 247 385 804 8 × 2 = 1 + 0,574 494 771 609 6;
  • 56) 0,574 494 771 609 6 × 2 = 1 + 0,148 989 543 219 2;
  • 57) 0,148 989 543 219 2 × 2 = 0 + 0,297 979 086 438 4;
  • 58) 0,297 979 086 438 4 × 2 = 0 + 0,595 958 172 876 8;
  • 59) 0,595 958 172 876 8 × 2 = 1 + 0,191 916 345 753 6;
  • 60) 0,191 916 345 753 6 × 2 = 0 + 0,383 832 691 507 2;
  • 61) 0,383 832 691 507 2 × 2 = 0 + 0,767 665 383 014 4;
  • 62) 0,767 665 383 014 4 × 2 = 1 + 0,535 330 766 028 8;
  • 63) 0,535 330 766 028 8 × 2 = 1 + 0,070 661 532 057 6;
  • 64) 0,070 661 532 057 6 × 2 = 0 + 0,141 323 064 115 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1001 0000 1100 0011 0010 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100