-0,000 282 005 912 28 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 28(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 28(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 28| = 0,000 282 005 912 28


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 28.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 28 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 56;
  • 2) 0,000 564 011 824 56 × 2 = 0 + 0,001 128 023 649 12;
  • 3) 0,001 128 023 649 12 × 2 = 0 + 0,002 256 047 298 24;
  • 4) 0,002 256 047 298 24 × 2 = 0 + 0,004 512 094 596 48;
  • 5) 0,004 512 094 596 48 × 2 = 0 + 0,009 024 189 192 96;
  • 6) 0,009 024 189 192 96 × 2 = 0 + 0,018 048 378 385 92;
  • 7) 0,018 048 378 385 92 × 2 = 0 + 0,036 096 756 771 84;
  • 8) 0,036 096 756 771 84 × 2 = 0 + 0,072 193 513 543 68;
  • 9) 0,072 193 513 543 68 × 2 = 0 + 0,144 387 027 087 36;
  • 10) 0,144 387 027 087 36 × 2 = 0 + 0,288 774 054 174 72;
  • 11) 0,288 774 054 174 72 × 2 = 0 + 0,577 548 108 349 44;
  • 12) 0,577 548 108 349 44 × 2 = 1 + 0,155 096 216 698 88;
  • 13) 0,155 096 216 698 88 × 2 = 0 + 0,310 192 433 397 76;
  • 14) 0,310 192 433 397 76 × 2 = 0 + 0,620 384 866 795 52;
  • 15) 0,620 384 866 795 52 × 2 = 1 + 0,240 769 733 591 04;
  • 16) 0,240 769 733 591 04 × 2 = 0 + 0,481 539 467 182 08;
  • 17) 0,481 539 467 182 08 × 2 = 0 + 0,963 078 934 364 16;
  • 18) 0,963 078 934 364 16 × 2 = 1 + 0,926 157 868 728 32;
  • 19) 0,926 157 868 728 32 × 2 = 1 + 0,852 315 737 456 64;
  • 20) 0,852 315 737 456 64 × 2 = 1 + 0,704 631 474 913 28;
  • 21) 0,704 631 474 913 28 × 2 = 1 + 0,409 262 949 826 56;
  • 22) 0,409 262 949 826 56 × 2 = 0 + 0,818 525 899 653 12;
  • 23) 0,818 525 899 653 12 × 2 = 1 + 0,637 051 799 306 24;
  • 24) 0,637 051 799 306 24 × 2 = 1 + 0,274 103 598 612 48;
  • 25) 0,274 103 598 612 48 × 2 = 0 + 0,548 207 197 224 96;
  • 26) 0,548 207 197 224 96 × 2 = 1 + 0,096 414 394 449 92;
  • 27) 0,096 414 394 449 92 × 2 = 0 + 0,192 828 788 899 84;
  • 28) 0,192 828 788 899 84 × 2 = 0 + 0,385 657 577 799 68;
  • 29) 0,385 657 577 799 68 × 2 = 0 + 0,771 315 155 599 36;
  • 30) 0,771 315 155 599 36 × 2 = 1 + 0,542 630 311 198 72;
  • 31) 0,542 630 311 198 72 × 2 = 1 + 0,085 260 622 397 44;
  • 32) 0,085 260 622 397 44 × 2 = 0 + 0,170 521 244 794 88;
  • 33) 0,170 521 244 794 88 × 2 = 0 + 0,341 042 489 589 76;
  • 34) 0,341 042 489 589 76 × 2 = 0 + 0,682 084 979 179 52;
  • 35) 0,682 084 979 179 52 × 2 = 1 + 0,364 169 958 359 04;
  • 36) 0,364 169 958 359 04 × 2 = 0 + 0,728 339 916 718 08;
  • 37) 0,728 339 916 718 08 × 2 = 1 + 0,456 679 833 436 16;
  • 38) 0,456 679 833 436 16 × 2 = 0 + 0,913 359 666 872 32;
  • 39) 0,913 359 666 872 32 × 2 = 1 + 0,826 719 333 744 64;
  • 40) 0,826 719 333 744 64 × 2 = 1 + 0,653 438 667 489 28;
  • 41) 0,653 438 667 489 28 × 2 = 1 + 0,306 877 334 978 56;
  • 42) 0,306 877 334 978 56 × 2 = 0 + 0,613 754 669 957 12;
  • 43) 0,613 754 669 957 12 × 2 = 1 + 0,227 509 339 914 24;
  • 44) 0,227 509 339 914 24 × 2 = 0 + 0,455 018 679 828 48;
  • 45) 0,455 018 679 828 48 × 2 = 0 + 0,910 037 359 656 96;
  • 46) 0,910 037 359 656 96 × 2 = 1 + 0,820 074 719 313 92;
  • 47) 0,820 074 719 313 92 × 2 = 1 + 0,640 149 438 627 84;
  • 48) 0,640 149 438 627 84 × 2 = 1 + 0,280 298 877 255 68;
  • 49) 0,280 298 877 255 68 × 2 = 0 + 0,560 597 754 511 36;
  • 50) 0,560 597 754 511 36 × 2 = 1 + 0,121 195 509 022 72;
  • 51) 0,121 195 509 022 72 × 2 = 0 + 0,242 391 018 045 44;
  • 52) 0,242 391 018 045 44 × 2 = 0 + 0,484 782 036 090 88;
  • 53) 0,484 782 036 090 88 × 2 = 0 + 0,969 564 072 181 76;
  • 54) 0,969 564 072 181 76 × 2 = 1 + 0,939 128 144 363 52;
  • 55) 0,939 128 144 363 52 × 2 = 1 + 0,878 256 288 727 04;
  • 56) 0,878 256 288 727 04 × 2 = 1 + 0,756 512 577 454 08;
  • 57) 0,756 512 577 454 08 × 2 = 1 + 0,513 025 154 908 16;
  • 58) 0,513 025 154 908 16 × 2 = 1 + 0,026 050 309 816 32;
  • 59) 0,026 050 309 816 32 × 2 = 0 + 0,052 100 619 632 64;
  • 60) 0,052 100 619 632 64 × 2 = 0 + 0,104 201 239 265 28;
  • 61) 0,104 201 239 265 28 × 2 = 0 + 0,208 402 478 530 56;
  • 62) 0,208 402 478 530 56 × 2 = 0 + 0,416 804 957 061 12;
  • 63) 0,416 804 957 061 12 × 2 = 0 + 0,833 609 914 122 24;
  • 64) 0,833 609 914 122 24 × 2 = 1 + 0,667 219 828 244 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 28 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 0111 0100 0111 1100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 14 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100