-0,000 282 005 912 29 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 29(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 29(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 29| = 0,000 282 005 912 29


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 29.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 29 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 58;
  • 2) 0,000 564 011 824 58 × 2 = 0 + 0,001 128 023 649 16;
  • 3) 0,001 128 023 649 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 298 32;
  • 4) 0,002 256 047 298 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 596 64;
  • 5) 0,004 512 094 596 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 193 28;
  • 6) 0,009 024 189 193 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 386 56;
  • 7) 0,018 048 378 386 56 × 2 = 0 + 0,036 096 756 773 12;
  • 8) 0,036 096 756 773 12 × 2 = 0 + 0,072 193 513 546 24;
  • 9) 0,072 193 513 546 24 × 2 = 0 + 0,144 387 027 092 48;
  • 10) 0,144 387 027 092 48 × 2 = 0 + 0,288 774 054 184 96;
  • 11) 0,288 774 054 184 96 × 2 = 0 + 0,577 548 108 369 92;
  • 12) 0,577 548 108 369 92 × 2 = 1 + 0,155 096 216 739 84;
  • 13) 0,155 096 216 739 84 × 2 = 0 + 0,310 192 433 479 68;
  • 14) 0,310 192 433 479 68 × 2 = 0 + 0,620 384 866 959 36;
  • 15) 0,620 384 866 959 36 × 2 = 1 + 0,240 769 733 918 72;
  • 16) 0,240 769 733 918 72 × 2 = 0 + 0,481 539 467 837 44;
  • 17) 0,481 539 467 837 44 × 2 = 0 + 0,963 078 935 674 88;
  • 18) 0,963 078 935 674 88 × 2 = 1 + 0,926 157 871 349 76;
  • 19) 0,926 157 871 349 76 × 2 = 1 + 0,852 315 742 699 52;
  • 20) 0,852 315 742 699 52 × 2 = 1 + 0,704 631 485 399 04;
  • 21) 0,704 631 485 399 04 × 2 = 1 + 0,409 262 970 798 08;
  • 22) 0,409 262 970 798 08 × 2 = 0 + 0,818 525 941 596 16;
  • 23) 0,818 525 941 596 16 × 2 = 1 + 0,637 051 883 192 32;
  • 24) 0,637 051 883 192 32 × 2 = 1 + 0,274 103 766 384 64;
  • 25) 0,274 103 766 384 64 × 2 = 0 + 0,548 207 532 769 28;
  • 26) 0,548 207 532 769 28 × 2 = 1 + 0,096 415 065 538 56;
  • 27) 0,096 415 065 538 56 × 2 = 0 + 0,192 830 131 077 12;
  • 28) 0,192 830 131 077 12 × 2 = 0 + 0,385 660 262 154 24;
  • 29) 0,385 660 262 154 24 × 2 = 0 + 0,771 320 524 308 48;
  • 30) 0,771 320 524 308 48 × 2 = 1 + 0,542 641 048 616 96;
  • 31) 0,542 641 048 616 96 × 2 = 1 + 0,085 282 097 233 92;
  • 32) 0,085 282 097 233 92 × 2 = 0 + 0,170 564 194 467 84;
  • 33) 0,170 564 194 467 84 × 2 = 0 + 0,341 128 388 935 68;
  • 34) 0,341 128 388 935 68 × 2 = 0 + 0,682 256 777 871 36;
  • 35) 0,682 256 777 871 36 × 2 = 1 + 0,364 513 555 742 72;
  • 36) 0,364 513 555 742 72 × 2 = 0 + 0,729 027 111 485 44;
  • 37) 0,729 027 111 485 44 × 2 = 1 + 0,458 054 222 970 88;
  • 38) 0,458 054 222 970 88 × 2 = 0 + 0,916 108 445 941 76;
  • 39) 0,916 108 445 941 76 × 2 = 1 + 0,832 216 891 883 52;
  • 40) 0,832 216 891 883 52 × 2 = 1 + 0,664 433 783 767 04;
  • 41) 0,664 433 783 767 04 × 2 = 1 + 0,328 867 567 534 08;
  • 42) 0,328 867 567 534 08 × 2 = 0 + 0,657 735 135 068 16;
  • 43) 0,657 735 135 068 16 × 2 = 1 + 0,315 470 270 136 32;
  • 44) 0,315 470 270 136 32 × 2 = 0 + 0,630 940 540 272 64;
  • 45) 0,630 940 540 272 64 × 2 = 1 + 0,261 881 080 545 28;
  • 46) 0,261 881 080 545 28 × 2 = 0 + 0,523 762 161 090 56;
  • 47) 0,523 762 161 090 56 × 2 = 1 + 0,047 524 322 181 12;
  • 48) 0,047 524 322 181 12 × 2 = 0 + 0,095 048 644 362 24;
  • 49) 0,095 048 644 362 24 × 2 = 0 + 0,190 097 288 724 48;
  • 50) 0,190 097 288 724 48 × 2 = 0 + 0,380 194 577 448 96;
  • 51) 0,380 194 577 448 96 × 2 = 0 + 0,760 389 154 897 92;
  • 52) 0,760 389 154 897 92 × 2 = 1 + 0,520 778 309 795 84;
  • 53) 0,520 778 309 795 84 × 2 = 1 + 0,041 556 619 591 68;
  • 54) 0,041 556 619 591 68 × 2 = 0 + 0,083 113 239 183 36;
  • 55) 0,083 113 239 183 36 × 2 = 0 + 0,166 226 478 366 72;
  • 56) 0,166 226 478 366 72 × 2 = 0 + 0,332 452 956 733 44;
  • 57) 0,332 452 956 733 44 × 2 = 0 + 0,664 905 913 466 88;
  • 58) 0,664 905 913 466 88 × 2 = 1 + 0,329 811 826 933 76;
  • 59) 0,329 811 826 933 76 × 2 = 0 + 0,659 623 653 867 52;
  • 60) 0,659 623 653 867 52 × 2 = 1 + 0,319 247 307 735 04;
  • 61) 0,319 247 307 735 04 × 2 = 0 + 0,638 494 615 470 08;
  • 62) 0,638 494 615 470 08 × 2 = 1 + 0,276 989 230 940 16;
  • 63) 0,276 989 230 940 16 × 2 = 0 + 0,553 978 461 880 32;
  • 64) 0,553 978 461 880 32 × 2 = 1 + 0,107 956 923 760 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 29(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 29 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1010 0001 1000 0101 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100