-0,000 282 005 912 31 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 31(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 31(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 31| = 0,000 282 005 912 31


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 31.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 31 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 62;
  • 2) 0,000 564 011 824 62 × 2 = 0 + 0,001 128 023 649 24;
  • 3) 0,001 128 023 649 24 × 2 = 0 + 0,002 256 047 298 48;
  • 4) 0,002 256 047 298 48 × 2 = 0 + 0,004 512 094 596 96;
  • 5) 0,004 512 094 596 96 × 2 = 0 + 0,009 024 189 193 92;
  • 6) 0,009 024 189 193 92 × 2 = 0 + 0,018 048 378 387 84;
  • 7) 0,018 048 378 387 84 × 2 = 0 + 0,036 096 756 775 68;
  • 8) 0,036 096 756 775 68 × 2 = 0 + 0,072 193 513 551 36;
  • 9) 0,072 193 513 551 36 × 2 = 0 + 0,144 387 027 102 72;
  • 10) 0,144 387 027 102 72 × 2 = 0 + 0,288 774 054 205 44;
  • 11) 0,288 774 054 205 44 × 2 = 0 + 0,577 548 108 410 88;
  • 12) 0,577 548 108 410 88 × 2 = 1 + 0,155 096 216 821 76;
  • 13) 0,155 096 216 821 76 × 2 = 0 + 0,310 192 433 643 52;
  • 14) 0,310 192 433 643 52 × 2 = 0 + 0,620 384 867 287 04;
  • 15) 0,620 384 867 287 04 × 2 = 1 + 0,240 769 734 574 08;
  • 16) 0,240 769 734 574 08 × 2 = 0 + 0,481 539 469 148 16;
  • 17) 0,481 539 469 148 16 × 2 = 0 + 0,963 078 938 296 32;
  • 18) 0,963 078 938 296 32 × 2 = 1 + 0,926 157 876 592 64;
  • 19) 0,926 157 876 592 64 × 2 = 1 + 0,852 315 753 185 28;
  • 20) 0,852 315 753 185 28 × 2 = 1 + 0,704 631 506 370 56;
  • 21) 0,704 631 506 370 56 × 2 = 1 + 0,409 263 012 741 12;
  • 22) 0,409 263 012 741 12 × 2 = 0 + 0,818 526 025 482 24;
  • 23) 0,818 526 025 482 24 × 2 = 1 + 0,637 052 050 964 48;
  • 24) 0,637 052 050 964 48 × 2 = 1 + 0,274 104 101 928 96;
  • 25) 0,274 104 101 928 96 × 2 = 0 + 0,548 208 203 857 92;
  • 26) 0,548 208 203 857 92 × 2 = 1 + 0,096 416 407 715 84;
  • 27) 0,096 416 407 715 84 × 2 = 0 + 0,192 832 815 431 68;
  • 28) 0,192 832 815 431 68 × 2 = 0 + 0,385 665 630 863 36;
  • 29) 0,385 665 630 863 36 × 2 = 0 + 0,771 331 261 726 72;
  • 30) 0,771 331 261 726 72 × 2 = 1 + 0,542 662 523 453 44;
  • 31) 0,542 662 523 453 44 × 2 = 1 + 0,085 325 046 906 88;
  • 32) 0,085 325 046 906 88 × 2 = 0 + 0,170 650 093 813 76;
  • 33) 0,170 650 093 813 76 × 2 = 0 + 0,341 300 187 627 52;
  • 34) 0,341 300 187 627 52 × 2 = 0 + 0,682 600 375 255 04;
  • 35) 0,682 600 375 255 04 × 2 = 1 + 0,365 200 750 510 08;
  • 36) 0,365 200 750 510 08 × 2 = 0 + 0,730 401 501 020 16;
  • 37) 0,730 401 501 020 16 × 2 = 1 + 0,460 803 002 040 32;
  • 38) 0,460 803 002 040 32 × 2 = 0 + 0,921 606 004 080 64;
  • 39) 0,921 606 004 080 64 × 2 = 1 + 0,843 212 008 161 28;
  • 40) 0,843 212 008 161 28 × 2 = 1 + 0,686 424 016 322 56;
  • 41) 0,686 424 016 322 56 × 2 = 1 + 0,372 848 032 645 12;
  • 42) 0,372 848 032 645 12 × 2 = 0 + 0,745 696 065 290 24;
  • 43) 0,745 696 065 290 24 × 2 = 1 + 0,491 392 130 580 48;
  • 44) 0,491 392 130 580 48 × 2 = 0 + 0,982 784 261 160 96;
  • 45) 0,982 784 261 160 96 × 2 = 1 + 0,965 568 522 321 92;
  • 46) 0,965 568 522 321 92 × 2 = 1 + 0,931 137 044 643 84;
  • 47) 0,931 137 044 643 84 × 2 = 1 + 0,862 274 089 287 68;
  • 48) 0,862 274 089 287 68 × 2 = 1 + 0,724 548 178 575 36;
  • 49) 0,724 548 178 575 36 × 2 = 1 + 0,449 096 357 150 72;
  • 50) 0,449 096 357 150 72 × 2 = 0 + 0,898 192 714 301 44;
  • 51) 0,898 192 714 301 44 × 2 = 1 + 0,796 385 428 602 88;
  • 52) 0,796 385 428 602 88 × 2 = 1 + 0,592 770 857 205 76;
  • 53) 0,592 770 857 205 76 × 2 = 1 + 0,185 541 714 411 52;
  • 54) 0,185 541 714 411 52 × 2 = 0 + 0,371 083 428 823 04;
  • 55) 0,371 083 428 823 04 × 2 = 0 + 0,742 166 857 646 08;
  • 56) 0,742 166 857 646 08 × 2 = 1 + 0,484 333 715 292 16;
  • 57) 0,484 333 715 292 16 × 2 = 0 + 0,968 667 430 584 32;
  • 58) 0,968 667 430 584 32 × 2 = 1 + 0,937 334 861 168 64;
  • 59) 0,937 334 861 168 64 × 2 = 1 + 0,874 669 722 337 28;
  • 60) 0,874 669 722 337 28 × 2 = 1 + 0,749 339 444 674 56;
  • 61) 0,749 339 444 674 56 × 2 = 1 + 0,498 678 889 349 12;
  • 62) 0,498 678 889 349 12 × 2 = 0 + 0,997 357 778 698 24;
  • 63) 0,997 357 778 698 24 × 2 = 1 + 0,994 715 557 396 48;
  • 64) 0,994 715 557 396 48 × 2 = 1 + 0,989 431 114 792 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 31 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1010 1111 1011 1001 0111 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 07 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100