-0,000 282 005 912 33 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 33(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 33(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 33| = 0,000 282 005 912 33


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 33.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 33 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 66;
  • 2) 0,000 564 011 824 66 × 2 = 0 + 0,001 128 023 649 32;
  • 3) 0,001 128 023 649 32 × 2 = 0 + 0,002 256 047 298 64;
  • 4) 0,002 256 047 298 64 × 2 = 0 + 0,004 512 094 597 28;
  • 5) 0,004 512 094 597 28 × 2 = 0 + 0,009 024 189 194 56;
  • 6) 0,009 024 189 194 56 × 2 = 0 + 0,018 048 378 389 12;
  • 7) 0,018 048 378 389 12 × 2 = 0 + 0,036 096 756 778 24;
  • 8) 0,036 096 756 778 24 × 2 = 0 + 0,072 193 513 556 48;
  • 9) 0,072 193 513 556 48 × 2 = 0 + 0,144 387 027 112 96;
  • 10) 0,144 387 027 112 96 × 2 = 0 + 0,288 774 054 225 92;
  • 11) 0,288 774 054 225 92 × 2 = 0 + 0,577 548 108 451 84;
  • 12) 0,577 548 108 451 84 × 2 = 1 + 0,155 096 216 903 68;
  • 13) 0,155 096 216 903 68 × 2 = 0 + 0,310 192 433 807 36;
  • 14) 0,310 192 433 807 36 × 2 = 0 + 0,620 384 867 614 72;
  • 15) 0,620 384 867 614 72 × 2 = 1 + 0,240 769 735 229 44;
  • 16) 0,240 769 735 229 44 × 2 = 0 + 0,481 539 470 458 88;
  • 17) 0,481 539 470 458 88 × 2 = 0 + 0,963 078 940 917 76;
  • 18) 0,963 078 940 917 76 × 2 = 1 + 0,926 157 881 835 52;
  • 19) 0,926 157 881 835 52 × 2 = 1 + 0,852 315 763 671 04;
  • 20) 0,852 315 763 671 04 × 2 = 1 + 0,704 631 527 342 08;
  • 21) 0,704 631 527 342 08 × 2 = 1 + 0,409 263 054 684 16;
  • 22) 0,409 263 054 684 16 × 2 = 0 + 0,818 526 109 368 32;
  • 23) 0,818 526 109 368 32 × 2 = 1 + 0,637 052 218 736 64;
  • 24) 0,637 052 218 736 64 × 2 = 1 + 0,274 104 437 473 28;
  • 25) 0,274 104 437 473 28 × 2 = 0 + 0,548 208 874 946 56;
  • 26) 0,548 208 874 946 56 × 2 = 1 + 0,096 417 749 893 12;
  • 27) 0,096 417 749 893 12 × 2 = 0 + 0,192 835 499 786 24;
  • 28) 0,192 835 499 786 24 × 2 = 0 + 0,385 670 999 572 48;
  • 29) 0,385 670 999 572 48 × 2 = 0 + 0,771 341 999 144 96;
  • 30) 0,771 341 999 144 96 × 2 = 1 + 0,542 683 998 289 92;
  • 31) 0,542 683 998 289 92 × 2 = 1 + 0,085 367 996 579 84;
  • 32) 0,085 367 996 579 84 × 2 = 0 + 0,170 735 993 159 68;
  • 33) 0,170 735 993 159 68 × 2 = 0 + 0,341 471 986 319 36;
  • 34) 0,341 471 986 319 36 × 2 = 0 + 0,682 943 972 638 72;
  • 35) 0,682 943 972 638 72 × 2 = 1 + 0,365 887 945 277 44;
  • 36) 0,365 887 945 277 44 × 2 = 0 + 0,731 775 890 554 88;
  • 37) 0,731 775 890 554 88 × 2 = 1 + 0,463 551 781 109 76;
  • 38) 0,463 551 781 109 76 × 2 = 0 + 0,927 103 562 219 52;
  • 39) 0,927 103 562 219 52 × 2 = 1 + 0,854 207 124 439 04;
  • 40) 0,854 207 124 439 04 × 2 = 1 + 0,708 414 248 878 08;
  • 41) 0,708 414 248 878 08 × 2 = 1 + 0,416 828 497 756 16;
  • 42) 0,416 828 497 756 16 × 2 = 0 + 0,833 656 995 512 32;
  • 43) 0,833 656 995 512 32 × 2 = 1 + 0,667 313 991 024 64;
  • 44) 0,667 313 991 024 64 × 2 = 1 + 0,334 627 982 049 28;
  • 45) 0,334 627 982 049 28 × 2 = 0 + 0,669 255 964 098 56;
  • 46) 0,669 255 964 098 56 × 2 = 1 + 0,338 511 928 197 12;
  • 47) 0,338 511 928 197 12 × 2 = 0 + 0,677 023 856 394 24;
  • 48) 0,677 023 856 394 24 × 2 = 1 + 0,354 047 712 788 48;
  • 49) 0,354 047 712 788 48 × 2 = 0 + 0,708 095 425 576 96;
  • 50) 0,708 095 425 576 96 × 2 = 1 + 0,416 190 851 153 92;
  • 51) 0,416 190 851 153 92 × 2 = 0 + 0,832 381 702 307 84;
  • 52) 0,832 381 702 307 84 × 2 = 1 + 0,664 763 404 615 68;
  • 53) 0,664 763 404 615 68 × 2 = 1 + 0,329 526 809 231 36;
  • 54) 0,329 526 809 231 36 × 2 = 0 + 0,659 053 618 462 72;
  • 55) 0,659 053 618 462 72 × 2 = 1 + 0,318 107 236 925 44;
  • 56) 0,318 107 236 925 44 × 2 = 0 + 0,636 214 473 850 88;
  • 57) 0,636 214 473 850 88 × 2 = 1 + 0,272 428 947 701 76;
  • 58) 0,272 428 947 701 76 × 2 = 0 + 0,544 857 895 403 52;
  • 59) 0,544 857 895 403 52 × 2 = 1 + 0,089 715 790 807 04;
  • 60) 0,089 715 790 807 04 × 2 = 0 + 0,179 431 581 614 08;
  • 61) 0,179 431 581 614 08 × 2 = 0 + 0,358 863 163 228 16;
  • 62) 0,358 863 163 228 16 × 2 = 0 + 0,717 726 326 456 32;
  • 63) 0,717 726 326 456 32 × 2 = 1 + 0,435 452 652 912 64;
  • 64) 0,435 452 652 912 64 × 2 = 0 + 0,870 905 305 825 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 33(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 33 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1011 0101 0101 1010 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100