-0,000 282 005 912 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 44| = 0,000 282 005 912 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 44 × 2 = 0 + 0,000 564 011 824 88;
  • 2) 0,000 564 011 824 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 649 76;
  • 3) 0,001 128 023 649 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 299 52;
  • 4) 0,002 256 047 299 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 599 04;
  • 5) 0,004 512 094 599 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 198 08;
  • 6) 0,009 024 189 198 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 396 16;
  • 7) 0,018 048 378 396 16 × 2 = 0 + 0,036 096 756 792 32;
  • 8) 0,036 096 756 792 32 × 2 = 0 + 0,072 193 513 584 64;
  • 9) 0,072 193 513 584 64 × 2 = 0 + 0,144 387 027 169 28;
  • 10) 0,144 387 027 169 28 × 2 = 0 + 0,288 774 054 338 56;
  • 11) 0,288 774 054 338 56 × 2 = 0 + 0,577 548 108 677 12;
  • 12) 0,577 548 108 677 12 × 2 = 1 + 0,155 096 217 354 24;
  • 13) 0,155 096 217 354 24 × 2 = 0 + 0,310 192 434 708 48;
  • 14) 0,310 192 434 708 48 × 2 = 0 + 0,620 384 869 416 96;
  • 15) 0,620 384 869 416 96 × 2 = 1 + 0,240 769 738 833 92;
  • 16) 0,240 769 738 833 92 × 2 = 0 + 0,481 539 477 667 84;
  • 17) 0,481 539 477 667 84 × 2 = 0 + 0,963 078 955 335 68;
  • 18) 0,963 078 955 335 68 × 2 = 1 + 0,926 157 910 671 36;
  • 19) 0,926 157 910 671 36 × 2 = 1 + 0,852 315 821 342 72;
  • 20) 0,852 315 821 342 72 × 2 = 1 + 0,704 631 642 685 44;
  • 21) 0,704 631 642 685 44 × 2 = 1 + 0,409 263 285 370 88;
  • 22) 0,409 263 285 370 88 × 2 = 0 + 0,818 526 570 741 76;
  • 23) 0,818 526 570 741 76 × 2 = 1 + 0,637 053 141 483 52;
  • 24) 0,637 053 141 483 52 × 2 = 1 + 0,274 106 282 967 04;
  • 25) 0,274 106 282 967 04 × 2 = 0 + 0,548 212 565 934 08;
  • 26) 0,548 212 565 934 08 × 2 = 1 + 0,096 425 131 868 16;
  • 27) 0,096 425 131 868 16 × 2 = 0 + 0,192 850 263 736 32;
  • 28) 0,192 850 263 736 32 × 2 = 0 + 0,385 700 527 472 64;
  • 29) 0,385 700 527 472 64 × 2 = 0 + 0,771 401 054 945 28;
  • 30) 0,771 401 054 945 28 × 2 = 1 + 0,542 802 109 890 56;
  • 31) 0,542 802 109 890 56 × 2 = 1 + 0,085 604 219 781 12;
  • 32) 0,085 604 219 781 12 × 2 = 0 + 0,171 208 439 562 24;
  • 33) 0,171 208 439 562 24 × 2 = 0 + 0,342 416 879 124 48;
  • 34) 0,342 416 879 124 48 × 2 = 0 + 0,684 833 758 248 96;
  • 35) 0,684 833 758 248 96 × 2 = 1 + 0,369 667 516 497 92;
  • 36) 0,369 667 516 497 92 × 2 = 0 + 0,739 335 032 995 84;
  • 37) 0,739 335 032 995 84 × 2 = 1 + 0,478 670 065 991 68;
  • 38) 0,478 670 065 991 68 × 2 = 0 + 0,957 340 131 983 36;
  • 39) 0,957 340 131 983 36 × 2 = 1 + 0,914 680 263 966 72;
  • 40) 0,914 680 263 966 72 × 2 = 1 + 0,829 360 527 933 44;
  • 41) 0,829 360 527 933 44 × 2 = 1 + 0,658 721 055 866 88;
  • 42) 0,658 721 055 866 88 × 2 = 1 + 0,317 442 111 733 76;
  • 43) 0,317 442 111 733 76 × 2 = 0 + 0,634 884 223 467 52;
  • 44) 0,634 884 223 467 52 × 2 = 1 + 0,269 768 446 935 04;
  • 45) 0,269 768 446 935 04 × 2 = 0 + 0,539 536 893 870 08;
  • 46) 0,539 536 893 870 08 × 2 = 1 + 0,079 073 787 740 16;
  • 47) 0,079 073 787 740 16 × 2 = 0 + 0,158 147 575 480 32;
  • 48) 0,158 147 575 480 32 × 2 = 0 + 0,316 295 150 960 64;
  • 49) 0,316 295 150 960 64 × 2 = 0 + 0,632 590 301 921 28;
  • 50) 0,632 590 301 921 28 × 2 = 1 + 0,265 180 603 842 56;
  • 51) 0,265 180 603 842 56 × 2 = 0 + 0,530 361 207 685 12;
  • 52) 0,530 361 207 685 12 × 2 = 1 + 0,060 722 415 370 24;
  • 53) 0,060 722 415 370 24 × 2 = 0 + 0,121 444 830 740 48;
  • 54) 0,121 444 830 740 48 × 2 = 0 + 0,242 889 661 480 96;
  • 55) 0,242 889 661 480 96 × 2 = 0 + 0,485 779 322 961 92;
  • 56) 0,485 779 322 961 92 × 2 = 0 + 0,971 558 645 923 84;
  • 57) 0,971 558 645 923 84 × 2 = 1 + 0,943 117 291 847 68;
  • 58) 0,943 117 291 847 68 × 2 = 1 + 0,886 234 583 695 36;
  • 59) 0,886 234 583 695 36 × 2 = 1 + 0,772 469 167 390 72;
  • 60) 0,772 469 167 390 72 × 2 = 1 + 0,544 938 334 781 44;
  • 61) 0,544 938 334 781 44 × 2 = 1 + 0,089 876 669 562 88;
  • 62) 0,089 876 669 562 88 × 2 = 0 + 0,179 753 339 125 76;
  • 63) 0,179 753 339 125 76 × 2 = 0 + 0,359 506 678 251 52;
  • 64) 0,359 506 678 251 52 × 2 = 0 + 0,719 013 356 503 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1011 1101 0100 0101 0000 1111 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 911 67 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100