-0,000 282 005 912 71 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 912 71(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 912 71(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 912 71| = 0,000 282 005 912 71


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 912 71.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 912 71 × 2 = 0 + 0,000 564 011 825 42;
  • 2) 0,000 564 011 825 42 × 2 = 0 + 0,001 128 023 650 84;
  • 3) 0,001 128 023 650 84 × 2 = 0 + 0,002 256 047 301 68;
  • 4) 0,002 256 047 301 68 × 2 = 0 + 0,004 512 094 603 36;
  • 5) 0,004 512 094 603 36 × 2 = 0 + 0,009 024 189 206 72;
  • 6) 0,009 024 189 206 72 × 2 = 0 + 0,018 048 378 413 44;
  • 7) 0,018 048 378 413 44 × 2 = 0 + 0,036 096 756 826 88;
  • 8) 0,036 096 756 826 88 × 2 = 0 + 0,072 193 513 653 76;
  • 9) 0,072 193 513 653 76 × 2 = 0 + 0,144 387 027 307 52;
  • 10) 0,144 387 027 307 52 × 2 = 0 + 0,288 774 054 615 04;
  • 11) 0,288 774 054 615 04 × 2 = 0 + 0,577 548 109 230 08;
  • 12) 0,577 548 109 230 08 × 2 = 1 + 0,155 096 218 460 16;
  • 13) 0,155 096 218 460 16 × 2 = 0 + 0,310 192 436 920 32;
  • 14) 0,310 192 436 920 32 × 2 = 0 + 0,620 384 873 840 64;
  • 15) 0,620 384 873 840 64 × 2 = 1 + 0,240 769 747 681 28;
  • 16) 0,240 769 747 681 28 × 2 = 0 + 0,481 539 495 362 56;
  • 17) 0,481 539 495 362 56 × 2 = 0 + 0,963 078 990 725 12;
  • 18) 0,963 078 990 725 12 × 2 = 1 + 0,926 157 981 450 24;
  • 19) 0,926 157 981 450 24 × 2 = 1 + 0,852 315 962 900 48;
  • 20) 0,852 315 962 900 48 × 2 = 1 + 0,704 631 925 800 96;
  • 21) 0,704 631 925 800 96 × 2 = 1 + 0,409 263 851 601 92;
  • 22) 0,409 263 851 601 92 × 2 = 0 + 0,818 527 703 203 84;
  • 23) 0,818 527 703 203 84 × 2 = 1 + 0,637 055 406 407 68;
  • 24) 0,637 055 406 407 68 × 2 = 1 + 0,274 110 812 815 36;
  • 25) 0,274 110 812 815 36 × 2 = 0 + 0,548 221 625 630 72;
  • 26) 0,548 221 625 630 72 × 2 = 1 + 0,096 443 251 261 44;
  • 27) 0,096 443 251 261 44 × 2 = 0 + 0,192 886 502 522 88;
  • 28) 0,192 886 502 522 88 × 2 = 0 + 0,385 773 005 045 76;
  • 29) 0,385 773 005 045 76 × 2 = 0 + 0,771 546 010 091 52;
  • 30) 0,771 546 010 091 52 × 2 = 1 + 0,543 092 020 183 04;
  • 31) 0,543 092 020 183 04 × 2 = 1 + 0,086 184 040 366 08;
  • 32) 0,086 184 040 366 08 × 2 = 0 + 0,172 368 080 732 16;
  • 33) 0,172 368 080 732 16 × 2 = 0 + 0,344 736 161 464 32;
  • 34) 0,344 736 161 464 32 × 2 = 0 + 0,689 472 322 928 64;
  • 35) 0,689 472 322 928 64 × 2 = 1 + 0,378 944 645 857 28;
  • 36) 0,378 944 645 857 28 × 2 = 0 + 0,757 889 291 714 56;
  • 37) 0,757 889 291 714 56 × 2 = 1 + 0,515 778 583 429 12;
  • 38) 0,515 778 583 429 12 × 2 = 1 + 0,031 557 166 858 24;
  • 39) 0,031 557 166 858 24 × 2 = 0 + 0,063 114 333 716 48;
  • 40) 0,063 114 333 716 48 × 2 = 0 + 0,126 228 667 432 96;
  • 41) 0,126 228 667 432 96 × 2 = 0 + 0,252 457 334 865 92;
  • 42) 0,252 457 334 865 92 × 2 = 0 + 0,504 914 669 731 84;
  • 43) 0,504 914 669 731 84 × 2 = 1 + 0,009 829 339 463 68;
  • 44) 0,009 829 339 463 68 × 2 = 0 + 0,019 658 678 927 36;
  • 45) 0,019 658 678 927 36 × 2 = 0 + 0,039 317 357 854 72;
  • 46) 0,039 317 357 854 72 × 2 = 0 + 0,078 634 715 709 44;
  • 47) 0,078 634 715 709 44 × 2 = 0 + 0,157 269 431 418 88;
  • 48) 0,157 269 431 418 88 × 2 = 0 + 0,314 538 862 837 76;
  • 49) 0,314 538 862 837 76 × 2 = 0 + 0,629 077 725 675 52;
  • 50) 0,629 077 725 675 52 × 2 = 1 + 0,258 155 451 351 04;
  • 51) 0,258 155 451 351 04 × 2 = 0 + 0,516 310 902 702 08;
  • 52) 0,516 310 902 702 08 × 2 = 1 + 0,032 621 805 404 16;
  • 53) 0,032 621 805 404 16 × 2 = 0 + 0,065 243 610 808 32;
  • 54) 0,065 243 610 808 32 × 2 = 0 + 0,130 487 221 616 64;
  • 55) 0,130 487 221 616 64 × 2 = 0 + 0,260 974 443 233 28;
  • 56) 0,260 974 443 233 28 × 2 = 0 + 0,521 948 886 466 56;
  • 57) 0,521 948 886 466 56 × 2 = 1 + 0,043 897 772 933 12;
  • 58) 0,043 897 772 933 12 × 2 = 0 + 0,087 795 545 866 24;
  • 59) 0,087 795 545 866 24 × 2 = 0 + 0,175 591 091 732 48;
  • 60) 0,175 591 091 732 48 × 2 = 0 + 0,351 182 183 464 96;
  • 61) 0,351 182 183 464 96 × 2 = 0 + 0,702 364 366 929 92;
  • 62) 0,702 364 366 929 92 × 2 = 1 + 0,404 728 733 859 84;
  • 63) 0,404 728 733 859 84 × 2 = 0 + 0,809 457 467 719 68;
  • 64) 0,809 457 467 719 68 × 2 = 1 + 0,618 914 935 439 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 912 71(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 912 71(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 912 71(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 912 71 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0010 0000 0101 0000 1000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100