-0,000 282 005 913 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 04| = 0,000 282 005 913 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 04 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 08;
  • 2) 0,000 564 011 826 08 × 2 = 0 + 0,001 128 023 652 16;
  • 3) 0,001 128 023 652 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 304 32;
  • 4) 0,002 256 047 304 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 608 64;
  • 5) 0,004 512 094 608 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 217 28;
  • 6) 0,009 024 189 217 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 434 56;
  • 7) 0,018 048 378 434 56 × 2 = 0 + 0,036 096 756 869 12;
  • 8) 0,036 096 756 869 12 × 2 = 0 + 0,072 193 513 738 24;
  • 9) 0,072 193 513 738 24 × 2 = 0 + 0,144 387 027 476 48;
  • 10) 0,144 387 027 476 48 × 2 = 0 + 0,288 774 054 952 96;
  • 11) 0,288 774 054 952 96 × 2 = 0 + 0,577 548 109 905 92;
  • 12) 0,577 548 109 905 92 × 2 = 1 + 0,155 096 219 811 84;
  • 13) 0,155 096 219 811 84 × 2 = 0 + 0,310 192 439 623 68;
  • 14) 0,310 192 439 623 68 × 2 = 0 + 0,620 384 879 247 36;
  • 15) 0,620 384 879 247 36 × 2 = 1 + 0,240 769 758 494 72;
  • 16) 0,240 769 758 494 72 × 2 = 0 + 0,481 539 516 989 44;
  • 17) 0,481 539 516 989 44 × 2 = 0 + 0,963 079 033 978 88;
  • 18) 0,963 079 033 978 88 × 2 = 1 + 0,926 158 067 957 76;
  • 19) 0,926 158 067 957 76 × 2 = 1 + 0,852 316 135 915 52;
  • 20) 0,852 316 135 915 52 × 2 = 1 + 0,704 632 271 831 04;
  • 21) 0,704 632 271 831 04 × 2 = 1 + 0,409 264 543 662 08;
  • 22) 0,409 264 543 662 08 × 2 = 0 + 0,818 529 087 324 16;
  • 23) 0,818 529 087 324 16 × 2 = 1 + 0,637 058 174 648 32;
  • 24) 0,637 058 174 648 32 × 2 = 1 + 0,274 116 349 296 64;
  • 25) 0,274 116 349 296 64 × 2 = 0 + 0,548 232 698 593 28;
  • 26) 0,548 232 698 593 28 × 2 = 1 + 0,096 465 397 186 56;
  • 27) 0,096 465 397 186 56 × 2 = 0 + 0,192 930 794 373 12;
  • 28) 0,192 930 794 373 12 × 2 = 0 + 0,385 861 588 746 24;
  • 29) 0,385 861 588 746 24 × 2 = 0 + 0,771 723 177 492 48;
  • 30) 0,771 723 177 492 48 × 2 = 1 + 0,543 446 354 984 96;
  • 31) 0,543 446 354 984 96 × 2 = 1 + 0,086 892 709 969 92;
  • 32) 0,086 892 709 969 92 × 2 = 0 + 0,173 785 419 939 84;
  • 33) 0,173 785 419 939 84 × 2 = 0 + 0,347 570 839 879 68;
  • 34) 0,347 570 839 879 68 × 2 = 0 + 0,695 141 679 759 36;
  • 35) 0,695 141 679 759 36 × 2 = 1 + 0,390 283 359 518 72;
  • 36) 0,390 283 359 518 72 × 2 = 0 + 0,780 566 719 037 44;
  • 37) 0,780 566 719 037 44 × 2 = 1 + 0,561 133 438 074 88;
  • 38) 0,561 133 438 074 88 × 2 = 1 + 0,122 266 876 149 76;
  • 39) 0,122 266 876 149 76 × 2 = 0 + 0,244 533 752 299 52;
  • 40) 0,244 533 752 299 52 × 2 = 0 + 0,489 067 504 599 04;
  • 41) 0,489 067 504 599 04 × 2 = 0 + 0,978 135 009 198 08;
  • 42) 0,978 135 009 198 08 × 2 = 1 + 0,956 270 018 396 16;
  • 43) 0,956 270 018 396 16 × 2 = 1 + 0,912 540 036 792 32;
  • 44) 0,912 540 036 792 32 × 2 = 1 + 0,825 080 073 584 64;
  • 45) 0,825 080 073 584 64 × 2 = 1 + 0,650 160 147 169 28;
  • 46) 0,650 160 147 169 28 × 2 = 1 + 0,300 320 294 338 56;
  • 47) 0,300 320 294 338 56 × 2 = 0 + 0,600 640 588 677 12;
  • 48) 0,600 640 588 677 12 × 2 = 1 + 0,201 281 177 354 24;
  • 49) 0,201 281 177 354 24 × 2 = 0 + 0,402 562 354 708 48;
  • 50) 0,402 562 354 708 48 × 2 = 0 + 0,805 124 709 416 96;
  • 51) 0,805 124 709 416 96 × 2 = 1 + 0,610 249 418 833 92;
  • 52) 0,610 249 418 833 92 × 2 = 1 + 0,220 498 837 667 84;
  • 53) 0,220 498 837 667 84 × 2 = 0 + 0,440 997 675 335 68;
  • 54) 0,440 997 675 335 68 × 2 = 0 + 0,881 995 350 671 36;
  • 55) 0,881 995 350 671 36 × 2 = 1 + 0,763 990 701 342 72;
  • 56) 0,763 990 701 342 72 × 2 = 1 + 0,527 981 402 685 44;
  • 57) 0,527 981 402 685 44 × 2 = 1 + 0,055 962 805 370 88;
  • 58) 0,055 962 805 370 88 × 2 = 0 + 0,111 925 610 741 76;
  • 59) 0,111 925 610 741 76 × 2 = 0 + 0,223 851 221 483 52;
  • 60) 0,223 851 221 483 52 × 2 = 0 + 0,447 702 442 967 04;
  • 61) 0,447 702 442 967 04 × 2 = 0 + 0,895 404 885 934 08;
  • 62) 0,895 404 885 934 08 × 2 = 1 + 0,790 809 771 868 16;
  • 63) 0,790 809 771 868 16 × 2 = 1 + 0,581 619 543 736 32;
  • 64) 0,581 619 543 736 32 × 2 = 1 + 0,163 239 087 472 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 0111 1101 0011 0011 1000 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 04 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100