-0,000 282 005 913 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 06| = 0,000 282 005 913 06


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 06 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 12;
  • 2) 0,000 564 011 826 12 × 2 = 0 + 0,001 128 023 652 24;
  • 3) 0,001 128 023 652 24 × 2 = 0 + 0,002 256 047 304 48;
  • 4) 0,002 256 047 304 48 × 2 = 0 + 0,004 512 094 608 96;
  • 5) 0,004 512 094 608 96 × 2 = 0 + 0,009 024 189 217 92;
  • 6) 0,009 024 189 217 92 × 2 = 0 + 0,018 048 378 435 84;
  • 7) 0,018 048 378 435 84 × 2 = 0 + 0,036 096 756 871 68;
  • 8) 0,036 096 756 871 68 × 2 = 0 + 0,072 193 513 743 36;
  • 9) 0,072 193 513 743 36 × 2 = 0 + 0,144 387 027 486 72;
  • 10) 0,144 387 027 486 72 × 2 = 0 + 0,288 774 054 973 44;
  • 11) 0,288 774 054 973 44 × 2 = 0 + 0,577 548 109 946 88;
  • 12) 0,577 548 109 946 88 × 2 = 1 + 0,155 096 219 893 76;
  • 13) 0,155 096 219 893 76 × 2 = 0 + 0,310 192 439 787 52;
  • 14) 0,310 192 439 787 52 × 2 = 0 + 0,620 384 879 575 04;
  • 15) 0,620 384 879 575 04 × 2 = 1 + 0,240 769 759 150 08;
  • 16) 0,240 769 759 150 08 × 2 = 0 + 0,481 539 518 300 16;
  • 17) 0,481 539 518 300 16 × 2 = 0 + 0,963 079 036 600 32;
  • 18) 0,963 079 036 600 32 × 2 = 1 + 0,926 158 073 200 64;
  • 19) 0,926 158 073 200 64 × 2 = 1 + 0,852 316 146 401 28;
  • 20) 0,852 316 146 401 28 × 2 = 1 + 0,704 632 292 802 56;
  • 21) 0,704 632 292 802 56 × 2 = 1 + 0,409 264 585 605 12;
  • 22) 0,409 264 585 605 12 × 2 = 0 + 0,818 529 171 210 24;
  • 23) 0,818 529 171 210 24 × 2 = 1 + 0,637 058 342 420 48;
  • 24) 0,637 058 342 420 48 × 2 = 1 + 0,274 116 684 840 96;
  • 25) 0,274 116 684 840 96 × 2 = 0 + 0,548 233 369 681 92;
  • 26) 0,548 233 369 681 92 × 2 = 1 + 0,096 466 739 363 84;
  • 27) 0,096 466 739 363 84 × 2 = 0 + 0,192 933 478 727 68;
  • 28) 0,192 933 478 727 68 × 2 = 0 + 0,385 866 957 455 36;
  • 29) 0,385 866 957 455 36 × 2 = 0 + 0,771 733 914 910 72;
  • 30) 0,771 733 914 910 72 × 2 = 1 + 0,543 467 829 821 44;
  • 31) 0,543 467 829 821 44 × 2 = 1 + 0,086 935 659 642 88;
  • 32) 0,086 935 659 642 88 × 2 = 0 + 0,173 871 319 285 76;
  • 33) 0,173 871 319 285 76 × 2 = 0 + 0,347 742 638 571 52;
  • 34) 0,347 742 638 571 52 × 2 = 0 + 0,695 485 277 143 04;
  • 35) 0,695 485 277 143 04 × 2 = 1 + 0,390 970 554 286 08;
  • 36) 0,390 970 554 286 08 × 2 = 0 + 0,781 941 108 572 16;
  • 37) 0,781 941 108 572 16 × 2 = 1 + 0,563 882 217 144 32;
  • 38) 0,563 882 217 144 32 × 2 = 1 + 0,127 764 434 288 64;
  • 39) 0,127 764 434 288 64 × 2 = 0 + 0,255 528 868 577 28;
  • 40) 0,255 528 868 577 28 × 2 = 0 + 0,511 057 737 154 56;
  • 41) 0,511 057 737 154 56 × 2 = 1 + 0,022 115 474 309 12;
  • 42) 0,022 115 474 309 12 × 2 = 0 + 0,044 230 948 618 24;
  • 43) 0,044 230 948 618 24 × 2 = 0 + 0,088 461 897 236 48;
  • 44) 0,088 461 897 236 48 × 2 = 0 + 0,176 923 794 472 96;
  • 45) 0,176 923 794 472 96 × 2 = 0 + 0,353 847 588 945 92;
  • 46) 0,353 847 588 945 92 × 2 = 0 + 0,707 695 177 891 84;
  • 47) 0,707 695 177 891 84 × 2 = 1 + 0,415 390 355 783 68;
  • 48) 0,415 390 355 783 68 × 2 = 0 + 0,830 780 711 567 36;
  • 49) 0,830 780 711 567 36 × 2 = 1 + 0,661 561 423 134 72;
  • 50) 0,661 561 423 134 72 × 2 = 1 + 0,323 122 846 269 44;
  • 51) 0,323 122 846 269 44 × 2 = 0 + 0,646 245 692 538 88;
  • 52) 0,646 245 692 538 88 × 2 = 1 + 0,292 491 385 077 76;
  • 53) 0,292 491 385 077 76 × 2 = 0 + 0,584 982 770 155 52;
  • 54) 0,584 982 770 155 52 × 2 = 1 + 0,169 965 540 311 04;
  • 55) 0,169 965 540 311 04 × 2 = 0 + 0,339 931 080 622 08;
  • 56) 0,339 931 080 622 08 × 2 = 0 + 0,679 862 161 244 16;
  • 57) 0,679 862 161 244 16 × 2 = 1 + 0,359 724 322 488 32;
  • 58) 0,359 724 322 488 32 × 2 = 0 + 0,719 448 644 976 64;
  • 59) 0,719 448 644 976 64 × 2 = 1 + 0,438 897 289 953 28;
  • 60) 0,438 897 289 953 28 × 2 = 0 + 0,877 794 579 906 56;
  • 61) 0,877 794 579 906 56 × 2 = 1 + 0,755 589 159 813 12;
  • 62) 0,755 589 159 813 12 × 2 = 1 + 0,511 178 319 626 24;
  • 63) 0,511 178 319 626 24 × 2 = 1 + 0,022 356 639 252 48;
  • 64) 0,022 356 639 252 48 × 2 = 0 + 0,044 713 278 504 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 06(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 06(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 06(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1000 0010 1101 0100 1010 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 15 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100