-0,000 282 005 913 26 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 26(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 26(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 26| = 0,000 282 005 913 26


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 26.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 26 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 52;
  • 2) 0,000 564 011 826 52 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 04;
  • 3) 0,001 128 023 653 04 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 08;
  • 4) 0,002 256 047 306 08 × 2 = 0 + 0,004 512 094 612 16;
  • 5) 0,004 512 094 612 16 × 2 = 0 + 0,009 024 189 224 32;
  • 6) 0,009 024 189 224 32 × 2 = 0 + 0,018 048 378 448 64;
  • 7) 0,018 048 378 448 64 × 2 = 0 + 0,036 096 756 897 28;
  • 8) 0,036 096 756 897 28 × 2 = 0 + 0,072 193 513 794 56;
  • 9) 0,072 193 513 794 56 × 2 = 0 + 0,144 387 027 589 12;
  • 10) 0,144 387 027 589 12 × 2 = 0 + 0,288 774 055 178 24;
  • 11) 0,288 774 055 178 24 × 2 = 0 + 0,577 548 110 356 48;
  • 12) 0,577 548 110 356 48 × 2 = 1 + 0,155 096 220 712 96;
  • 13) 0,155 096 220 712 96 × 2 = 0 + 0,310 192 441 425 92;
  • 14) 0,310 192 441 425 92 × 2 = 0 + 0,620 384 882 851 84;
  • 15) 0,620 384 882 851 84 × 2 = 1 + 0,240 769 765 703 68;
  • 16) 0,240 769 765 703 68 × 2 = 0 + 0,481 539 531 407 36;
  • 17) 0,481 539 531 407 36 × 2 = 0 + 0,963 079 062 814 72;
  • 18) 0,963 079 062 814 72 × 2 = 1 + 0,926 158 125 629 44;
  • 19) 0,926 158 125 629 44 × 2 = 1 + 0,852 316 251 258 88;
  • 20) 0,852 316 251 258 88 × 2 = 1 + 0,704 632 502 517 76;
  • 21) 0,704 632 502 517 76 × 2 = 1 + 0,409 265 005 035 52;
  • 22) 0,409 265 005 035 52 × 2 = 0 + 0,818 530 010 071 04;
  • 23) 0,818 530 010 071 04 × 2 = 1 + 0,637 060 020 142 08;
  • 24) 0,637 060 020 142 08 × 2 = 1 + 0,274 120 040 284 16;
  • 25) 0,274 120 040 284 16 × 2 = 0 + 0,548 240 080 568 32;
  • 26) 0,548 240 080 568 32 × 2 = 1 + 0,096 480 161 136 64;
  • 27) 0,096 480 161 136 64 × 2 = 0 + 0,192 960 322 273 28;
  • 28) 0,192 960 322 273 28 × 2 = 0 + 0,385 920 644 546 56;
  • 29) 0,385 920 644 546 56 × 2 = 0 + 0,771 841 289 093 12;
  • 30) 0,771 841 289 093 12 × 2 = 1 + 0,543 682 578 186 24;
  • 31) 0,543 682 578 186 24 × 2 = 1 + 0,087 365 156 372 48;
  • 32) 0,087 365 156 372 48 × 2 = 0 + 0,174 730 312 744 96;
  • 33) 0,174 730 312 744 96 × 2 = 0 + 0,349 460 625 489 92;
  • 34) 0,349 460 625 489 92 × 2 = 0 + 0,698 921 250 979 84;
  • 35) 0,698 921 250 979 84 × 2 = 1 + 0,397 842 501 959 68;
  • 36) 0,397 842 501 959 68 × 2 = 0 + 0,795 685 003 919 36;
  • 37) 0,795 685 003 919 36 × 2 = 1 + 0,591 370 007 838 72;
  • 38) 0,591 370 007 838 72 × 2 = 1 + 0,182 740 015 677 44;
  • 39) 0,182 740 015 677 44 × 2 = 0 + 0,365 480 031 354 88;
  • 40) 0,365 480 031 354 88 × 2 = 0 + 0,730 960 062 709 76;
  • 41) 0,730 960 062 709 76 × 2 = 1 + 0,461 920 125 419 52;
  • 42) 0,461 920 125 419 52 × 2 = 0 + 0,923 840 250 839 04;
  • 43) 0,923 840 250 839 04 × 2 = 1 + 0,847 680 501 678 08;
  • 44) 0,847 680 501 678 08 × 2 = 1 + 0,695 361 003 356 16;
  • 45) 0,695 361 003 356 16 × 2 = 1 + 0,390 722 006 712 32;
  • 46) 0,390 722 006 712 32 × 2 = 0 + 0,781 444 013 424 64;
  • 47) 0,781 444 013 424 64 × 2 = 1 + 0,562 888 026 849 28;
  • 48) 0,562 888 026 849 28 × 2 = 1 + 0,125 776 053 698 56;
  • 49) 0,125 776 053 698 56 × 2 = 0 + 0,251 552 107 397 12;
  • 50) 0,251 552 107 397 12 × 2 = 0 + 0,503 104 214 794 24;
  • 51) 0,503 104 214 794 24 × 2 = 1 + 0,006 208 429 588 48;
  • 52) 0,006 208 429 588 48 × 2 = 0 + 0,012 416 859 176 96;
  • 53) 0,012 416 859 176 96 × 2 = 0 + 0,024 833 718 353 92;
  • 54) 0,024 833 718 353 92 × 2 = 0 + 0,049 667 436 707 84;
  • 55) 0,049 667 436 707 84 × 2 = 0 + 0,099 334 873 415 68;
  • 56) 0,099 334 873 415 68 × 2 = 0 + 0,198 669 746 831 36;
  • 57) 0,198 669 746 831 36 × 2 = 0 + 0,397 339 493 662 72;
  • 58) 0,397 339 493 662 72 × 2 = 0 + 0,794 678 987 325 44;
  • 59) 0,794 678 987 325 44 × 2 = 1 + 0,589 357 974 650 88;
  • 60) 0,589 357 974 650 88 × 2 = 1 + 0,178 715 949 301 76;
  • 61) 0,178 715 949 301 76 × 2 = 0 + 0,357 431 898 603 52;
  • 62) 0,357 431 898 603 52 × 2 = 0 + 0,714 863 797 207 04;
  • 63) 0,714 863 797 207 04 × 2 = 1 + 0,429 727 594 414 08;
  • 64) 0,429 727 594 414 08 × 2 = 0 + 0,859 455 188 828 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 26(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 26(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 26(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 26 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1011 1011 0010 0000 0011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 68 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100