-0,000 282 005 913 31 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 31(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 31(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 31| = 0,000 282 005 913 31


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 31.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 31 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 62;
  • 2) 0,000 564 011 826 62 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 24;
  • 3) 0,001 128 023 653 24 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 48;
  • 4) 0,002 256 047 306 48 × 2 = 0 + 0,004 512 094 612 96;
  • 5) 0,004 512 094 612 96 × 2 = 0 + 0,009 024 189 225 92;
  • 6) 0,009 024 189 225 92 × 2 = 0 + 0,018 048 378 451 84;
  • 7) 0,018 048 378 451 84 × 2 = 0 + 0,036 096 756 903 68;
  • 8) 0,036 096 756 903 68 × 2 = 0 + 0,072 193 513 807 36;
  • 9) 0,072 193 513 807 36 × 2 = 0 + 0,144 387 027 614 72;
  • 10) 0,144 387 027 614 72 × 2 = 0 + 0,288 774 055 229 44;
  • 11) 0,288 774 055 229 44 × 2 = 0 + 0,577 548 110 458 88;
  • 12) 0,577 548 110 458 88 × 2 = 1 + 0,155 096 220 917 76;
  • 13) 0,155 096 220 917 76 × 2 = 0 + 0,310 192 441 835 52;
  • 14) 0,310 192 441 835 52 × 2 = 0 + 0,620 384 883 671 04;
  • 15) 0,620 384 883 671 04 × 2 = 1 + 0,240 769 767 342 08;
  • 16) 0,240 769 767 342 08 × 2 = 0 + 0,481 539 534 684 16;
  • 17) 0,481 539 534 684 16 × 2 = 0 + 0,963 079 069 368 32;
  • 18) 0,963 079 069 368 32 × 2 = 1 + 0,926 158 138 736 64;
  • 19) 0,926 158 138 736 64 × 2 = 1 + 0,852 316 277 473 28;
  • 20) 0,852 316 277 473 28 × 2 = 1 + 0,704 632 554 946 56;
  • 21) 0,704 632 554 946 56 × 2 = 1 + 0,409 265 109 893 12;
  • 22) 0,409 265 109 893 12 × 2 = 0 + 0,818 530 219 786 24;
  • 23) 0,818 530 219 786 24 × 2 = 1 + 0,637 060 439 572 48;
  • 24) 0,637 060 439 572 48 × 2 = 1 + 0,274 120 879 144 96;
  • 25) 0,274 120 879 144 96 × 2 = 0 + 0,548 241 758 289 92;
  • 26) 0,548 241 758 289 92 × 2 = 1 + 0,096 483 516 579 84;
  • 27) 0,096 483 516 579 84 × 2 = 0 + 0,192 967 033 159 68;
  • 28) 0,192 967 033 159 68 × 2 = 0 + 0,385 934 066 319 36;
  • 29) 0,385 934 066 319 36 × 2 = 0 + 0,771 868 132 638 72;
  • 30) 0,771 868 132 638 72 × 2 = 1 + 0,543 736 265 277 44;
  • 31) 0,543 736 265 277 44 × 2 = 1 + 0,087 472 530 554 88;
  • 32) 0,087 472 530 554 88 × 2 = 0 + 0,174 945 061 109 76;
  • 33) 0,174 945 061 109 76 × 2 = 0 + 0,349 890 122 219 52;
  • 34) 0,349 890 122 219 52 × 2 = 0 + 0,699 780 244 439 04;
  • 35) 0,699 780 244 439 04 × 2 = 1 + 0,399 560 488 878 08;
  • 36) 0,399 560 488 878 08 × 2 = 0 + 0,799 120 977 756 16;
  • 37) 0,799 120 977 756 16 × 2 = 1 + 0,598 241 955 512 32;
  • 38) 0,598 241 955 512 32 × 2 = 1 + 0,196 483 911 024 64;
  • 39) 0,196 483 911 024 64 × 2 = 0 + 0,392 967 822 049 28;
  • 40) 0,392 967 822 049 28 × 2 = 0 + 0,785 935 644 098 56;
  • 41) 0,785 935 644 098 56 × 2 = 1 + 0,571 871 288 197 12;
  • 42) 0,571 871 288 197 12 × 2 = 1 + 0,143 742 576 394 24;
  • 43) 0,143 742 576 394 24 × 2 = 0 + 0,287 485 152 788 48;
  • 44) 0,287 485 152 788 48 × 2 = 0 + 0,574 970 305 576 96;
  • 45) 0,574 970 305 576 96 × 2 = 1 + 0,149 940 611 153 92;
  • 46) 0,149 940 611 153 92 × 2 = 0 + 0,299 881 222 307 84;
  • 47) 0,299 881 222 307 84 × 2 = 0 + 0,599 762 444 615 68;
  • 48) 0,599 762 444 615 68 × 2 = 1 + 0,199 524 889 231 36;
  • 49) 0,199 524 889 231 36 × 2 = 0 + 0,399 049 778 462 72;
  • 50) 0,399 049 778 462 72 × 2 = 0 + 0,798 099 556 925 44;
  • 51) 0,798 099 556 925 44 × 2 = 1 + 0,596 199 113 850 88;
  • 52) 0,596 199 113 850 88 × 2 = 1 + 0,192 398 227 701 76;
  • 53) 0,192 398 227 701 76 × 2 = 0 + 0,384 796 455 403 52;
  • 54) 0,384 796 455 403 52 × 2 = 0 + 0,769 592 910 807 04;
  • 55) 0,769 592 910 807 04 × 2 = 1 + 0,539 185 821 614 08;
  • 56) 0,539 185 821 614 08 × 2 = 1 + 0,078 371 643 228 16;
  • 57) 0,078 371 643 228 16 × 2 = 0 + 0,156 743 286 456 32;
  • 58) 0,156 743 286 456 32 × 2 = 0 + 0,313 486 572 912 64;
  • 59) 0,313 486 572 912 64 × 2 = 0 + 0,626 973 145 825 28;
  • 60) 0,626 973 145 825 28 × 2 = 1 + 0,253 946 291 650 56;
  • 61) 0,253 946 291 650 56 × 2 = 0 + 0,507 892 583 301 12;
  • 62) 0,507 892 583 301 12 × 2 = 1 + 0,015 785 166 602 24;
  • 63) 0,015 785 166 602 24 × 2 = 0 + 0,031 570 333 204 48;
  • 64) 0,031 570 333 204 48 × 2 = 0 + 0,063 140 666 408 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 31(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 31 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1001 0011 0011 0001 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 912 34 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100