-0,000 282 005 913 34 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 34(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 34(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 34| = 0,000 282 005 913 34


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 34.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 34 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 68;
  • 2) 0,000 564 011 826 68 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 36;
  • 3) 0,001 128 023 653 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 72;
  • 4) 0,002 256 047 306 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 613 44;
  • 5) 0,004 512 094 613 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 226 88;
  • 6) 0,009 024 189 226 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 453 76;
  • 7) 0,018 048 378 453 76 × 2 = 0 + 0,036 096 756 907 52;
  • 8) 0,036 096 756 907 52 × 2 = 0 + 0,072 193 513 815 04;
  • 9) 0,072 193 513 815 04 × 2 = 0 + 0,144 387 027 630 08;
  • 10) 0,144 387 027 630 08 × 2 = 0 + 0,288 774 055 260 16;
  • 11) 0,288 774 055 260 16 × 2 = 0 + 0,577 548 110 520 32;
  • 12) 0,577 548 110 520 32 × 2 = 1 + 0,155 096 221 040 64;
  • 13) 0,155 096 221 040 64 × 2 = 0 + 0,310 192 442 081 28;
  • 14) 0,310 192 442 081 28 × 2 = 0 + 0,620 384 884 162 56;
  • 15) 0,620 384 884 162 56 × 2 = 1 + 0,240 769 768 325 12;
  • 16) 0,240 769 768 325 12 × 2 = 0 + 0,481 539 536 650 24;
  • 17) 0,481 539 536 650 24 × 2 = 0 + 0,963 079 073 300 48;
  • 18) 0,963 079 073 300 48 × 2 = 1 + 0,926 158 146 600 96;
  • 19) 0,926 158 146 600 96 × 2 = 1 + 0,852 316 293 201 92;
  • 20) 0,852 316 293 201 92 × 2 = 1 + 0,704 632 586 403 84;
  • 21) 0,704 632 586 403 84 × 2 = 1 + 0,409 265 172 807 68;
  • 22) 0,409 265 172 807 68 × 2 = 0 + 0,818 530 345 615 36;
  • 23) 0,818 530 345 615 36 × 2 = 1 + 0,637 060 691 230 72;
  • 24) 0,637 060 691 230 72 × 2 = 1 + 0,274 121 382 461 44;
  • 25) 0,274 121 382 461 44 × 2 = 0 + 0,548 242 764 922 88;
  • 26) 0,548 242 764 922 88 × 2 = 1 + 0,096 485 529 845 76;
  • 27) 0,096 485 529 845 76 × 2 = 0 + 0,192 971 059 691 52;
  • 28) 0,192 971 059 691 52 × 2 = 0 + 0,385 942 119 383 04;
  • 29) 0,385 942 119 383 04 × 2 = 0 + 0,771 884 238 766 08;
  • 30) 0,771 884 238 766 08 × 2 = 1 + 0,543 768 477 532 16;
  • 31) 0,543 768 477 532 16 × 2 = 1 + 0,087 536 955 064 32;
  • 32) 0,087 536 955 064 32 × 2 = 0 + 0,175 073 910 128 64;
  • 33) 0,175 073 910 128 64 × 2 = 0 + 0,350 147 820 257 28;
  • 34) 0,350 147 820 257 28 × 2 = 0 + 0,700 295 640 514 56;
  • 35) 0,700 295 640 514 56 × 2 = 1 + 0,400 591 281 029 12;
  • 36) 0,400 591 281 029 12 × 2 = 0 + 0,801 182 562 058 24;
  • 37) 0,801 182 562 058 24 × 2 = 1 + 0,602 365 124 116 48;
  • 38) 0,602 365 124 116 48 × 2 = 1 + 0,204 730 248 232 96;
  • 39) 0,204 730 248 232 96 × 2 = 0 + 0,409 460 496 465 92;
  • 40) 0,409 460 496 465 92 × 2 = 0 + 0,818 920 992 931 84;
  • 41) 0,818 920 992 931 84 × 2 = 1 + 0,637 841 985 863 68;
  • 42) 0,637 841 985 863 68 × 2 = 1 + 0,275 683 971 727 36;
  • 43) 0,275 683 971 727 36 × 2 = 0 + 0,551 367 943 454 72;
  • 44) 0,551 367 943 454 72 × 2 = 1 + 0,102 735 886 909 44;
  • 45) 0,102 735 886 909 44 × 2 = 0 + 0,205 471 773 818 88;
  • 46) 0,205 471 773 818 88 × 2 = 0 + 0,410 943 547 637 76;
  • 47) 0,410 943 547 637 76 × 2 = 0 + 0,821 887 095 275 52;
  • 48) 0,821 887 095 275 52 × 2 = 1 + 0,643 774 190 551 04;
  • 49) 0,643 774 190 551 04 × 2 = 1 + 0,287 548 381 102 08;
  • 50) 0,287 548 381 102 08 × 2 = 0 + 0,575 096 762 204 16;
  • 51) 0,575 096 762 204 16 × 2 = 1 + 0,150 193 524 408 32;
  • 52) 0,150 193 524 408 32 × 2 = 0 + 0,300 387 048 816 64;
  • 53) 0,300 387 048 816 64 × 2 = 0 + 0,600 774 097 633 28;
  • 54) 0,600 774 097 633 28 × 2 = 1 + 0,201 548 195 266 56;
  • 55) 0,201 548 195 266 56 × 2 = 0 + 0,403 096 390 533 12;
  • 56) 0,403 096 390 533 12 × 2 = 0 + 0,806 192 781 066 24;
  • 57) 0,806 192 781 066 24 × 2 = 1 + 0,612 385 562 132 48;
  • 58) 0,612 385 562 132 48 × 2 = 1 + 0,224 771 124 264 96;
  • 59) 0,224 771 124 264 96 × 2 = 0 + 0,449 542 248 529 92;
  • 60) 0,449 542 248 529 92 × 2 = 0 + 0,899 084 497 059 84;
  • 61) 0,899 084 497 059 84 × 2 = 1 + 0,798 168 994 119 68;
  • 62) 0,798 168 994 119 68 × 2 = 1 + 0,596 337 988 239 36;
  • 63) 0,596 337 988 239 36 × 2 = 1 + 0,192 675 976 478 72;
  • 64) 0,192 675 976 478 72 × 2 = 0 + 0,385 351 952 957 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 34(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 34 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 0001 1010 0100 1100 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100