-0,000 282 005 913 57 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 57(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 57(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 57| = 0,000 282 005 913 57


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 57.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 57 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 14;
  • 2) 0,000 564 011 827 14 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 28;
  • 3) 0,001 128 023 654 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 308 56;
  • 4) 0,002 256 047 308 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 617 12;
  • 5) 0,004 512 094 617 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 234 24;
  • 6) 0,009 024 189 234 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 468 48;
  • 7) 0,018 048 378 468 48 × 2 = 0 + 0,036 096 756 936 96;
  • 8) 0,036 096 756 936 96 × 2 = 0 + 0,072 193 513 873 92;
  • 9) 0,072 193 513 873 92 × 2 = 0 + 0,144 387 027 747 84;
  • 10) 0,144 387 027 747 84 × 2 = 0 + 0,288 774 055 495 68;
  • 11) 0,288 774 055 495 68 × 2 = 0 + 0,577 548 110 991 36;
  • 12) 0,577 548 110 991 36 × 2 = 1 + 0,155 096 221 982 72;
  • 13) 0,155 096 221 982 72 × 2 = 0 + 0,310 192 443 965 44;
  • 14) 0,310 192 443 965 44 × 2 = 0 + 0,620 384 887 930 88;
  • 15) 0,620 384 887 930 88 × 2 = 1 + 0,240 769 775 861 76;
  • 16) 0,240 769 775 861 76 × 2 = 0 + 0,481 539 551 723 52;
  • 17) 0,481 539 551 723 52 × 2 = 0 + 0,963 079 103 447 04;
  • 18) 0,963 079 103 447 04 × 2 = 1 + 0,926 158 206 894 08;
  • 19) 0,926 158 206 894 08 × 2 = 1 + 0,852 316 413 788 16;
  • 20) 0,852 316 413 788 16 × 2 = 1 + 0,704 632 827 576 32;
  • 21) 0,704 632 827 576 32 × 2 = 1 + 0,409 265 655 152 64;
  • 22) 0,409 265 655 152 64 × 2 = 0 + 0,818 531 310 305 28;
  • 23) 0,818 531 310 305 28 × 2 = 1 + 0,637 062 620 610 56;
  • 24) 0,637 062 620 610 56 × 2 = 1 + 0,274 125 241 221 12;
  • 25) 0,274 125 241 221 12 × 2 = 0 + 0,548 250 482 442 24;
  • 26) 0,548 250 482 442 24 × 2 = 1 + 0,096 500 964 884 48;
  • 27) 0,096 500 964 884 48 × 2 = 0 + 0,193 001 929 768 96;
  • 28) 0,193 001 929 768 96 × 2 = 0 + 0,386 003 859 537 92;
  • 29) 0,386 003 859 537 92 × 2 = 0 + 0,772 007 719 075 84;
  • 30) 0,772 007 719 075 84 × 2 = 1 + 0,544 015 438 151 68;
  • 31) 0,544 015 438 151 68 × 2 = 1 + 0,088 030 876 303 36;
  • 32) 0,088 030 876 303 36 × 2 = 0 + 0,176 061 752 606 72;
  • 33) 0,176 061 752 606 72 × 2 = 0 + 0,352 123 505 213 44;
  • 34) 0,352 123 505 213 44 × 2 = 0 + 0,704 247 010 426 88;
  • 35) 0,704 247 010 426 88 × 2 = 1 + 0,408 494 020 853 76;
  • 36) 0,408 494 020 853 76 × 2 = 0 + 0,816 988 041 707 52;
  • 37) 0,816 988 041 707 52 × 2 = 1 + 0,633 976 083 415 04;
  • 38) 0,633 976 083 415 04 × 2 = 1 + 0,267 952 166 830 08;
  • 39) 0,267 952 166 830 08 × 2 = 0 + 0,535 904 333 660 16;
  • 40) 0,535 904 333 660 16 × 2 = 1 + 0,071 808 667 320 32;
  • 41) 0,071 808 667 320 32 × 2 = 0 + 0,143 617 334 640 64;
  • 42) 0,143 617 334 640 64 × 2 = 0 + 0,287 234 669 281 28;
  • 43) 0,287 234 669 281 28 × 2 = 0 + 0,574 469 338 562 56;
  • 44) 0,574 469 338 562 56 × 2 = 1 + 0,148 938 677 125 12;
  • 45) 0,148 938 677 125 12 × 2 = 0 + 0,297 877 354 250 24;
  • 46) 0,297 877 354 250 24 × 2 = 0 + 0,595 754 708 500 48;
  • 47) 0,595 754 708 500 48 × 2 = 1 + 0,191 509 417 000 96;
  • 48) 0,191 509 417 000 96 × 2 = 0 + 0,383 018 834 001 92;
  • 49) 0,383 018 834 001 92 × 2 = 0 + 0,766 037 668 003 84;
  • 50) 0,766 037 668 003 84 × 2 = 1 + 0,532 075 336 007 68;
  • 51) 0,532 075 336 007 68 × 2 = 1 + 0,064 150 672 015 36;
  • 52) 0,064 150 672 015 36 × 2 = 0 + 0,128 301 344 030 72;
  • 53) 0,128 301 344 030 72 × 2 = 0 + 0,256 602 688 061 44;
  • 54) 0,256 602 688 061 44 × 2 = 0 + 0,513 205 376 122 88;
  • 55) 0,513 205 376 122 88 × 2 = 1 + 0,026 410 752 245 76;
  • 56) 0,026 410 752 245 76 × 2 = 0 + 0,052 821 504 491 52;
  • 57) 0,052 821 504 491 52 × 2 = 0 + 0,105 643 008 983 04;
  • 58) 0,105 643 008 983 04 × 2 = 0 + 0,211 286 017 966 08;
  • 59) 0,211 286 017 966 08 × 2 = 0 + 0,422 572 035 932 16;
  • 60) 0,422 572 035 932 16 × 2 = 0 + 0,845 144 071 864 32;
  • 61) 0,845 144 071 864 32 × 2 = 1 + 0,690 288 143 728 64;
  • 62) 0,690 288 143 728 64 × 2 = 1 + 0,380 576 287 457 28;
  • 63) 0,380 576 287 457 28 × 2 = 0 + 0,761 152 574 914 56;
  • 64) 0,761 152 574 914 56 × 2 = 1 + 0,522 305 149 829 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 57(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 57 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0001 0010 0110 0010 0000 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 65 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100