-0,000 282 005 913 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 7| = 0,000 282 005 913 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 4;
  • 2) 0,000 564 011 827 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 8;
  • 3) 0,001 128 023 654 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 309 6;
  • 4) 0,002 256 047 309 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 619 2;
  • 5) 0,004 512 094 619 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 238 4;
  • 6) 0,009 024 189 238 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 476 8;
  • 7) 0,018 048 378 476 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 953 6;
  • 8) 0,036 096 756 953 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 907 2;
  • 9) 0,072 193 513 907 2 × 2 = 0 + 0,144 387 027 814 4;
  • 10) 0,144 387 027 814 4 × 2 = 0 + 0,288 774 055 628 8;
  • 11) 0,288 774 055 628 8 × 2 = 0 + 0,577 548 111 257 6;
  • 12) 0,577 548 111 257 6 × 2 = 1 + 0,155 096 222 515 2;
  • 13) 0,155 096 222 515 2 × 2 = 0 + 0,310 192 445 030 4;
  • 14) 0,310 192 445 030 4 × 2 = 0 + 0,620 384 890 060 8;
  • 15) 0,620 384 890 060 8 × 2 = 1 + 0,240 769 780 121 6;
  • 16) 0,240 769 780 121 6 × 2 = 0 + 0,481 539 560 243 2;
  • 17) 0,481 539 560 243 2 × 2 = 0 + 0,963 079 120 486 4;
  • 18) 0,963 079 120 486 4 × 2 = 1 + 0,926 158 240 972 8;
  • 19) 0,926 158 240 972 8 × 2 = 1 + 0,852 316 481 945 6;
  • 20) 0,852 316 481 945 6 × 2 = 1 + 0,704 632 963 891 2;
  • 21) 0,704 632 963 891 2 × 2 = 1 + 0,409 265 927 782 4;
  • 22) 0,409 265 927 782 4 × 2 = 0 + 0,818 531 855 564 8;
  • 23) 0,818 531 855 564 8 × 2 = 1 + 0,637 063 711 129 6;
  • 24) 0,637 063 711 129 6 × 2 = 1 + 0,274 127 422 259 2;
  • 25) 0,274 127 422 259 2 × 2 = 0 + 0,548 254 844 518 4;
  • 26) 0,548 254 844 518 4 × 2 = 1 + 0,096 509 689 036 8;
  • 27) 0,096 509 689 036 8 × 2 = 0 + 0,193 019 378 073 6;
  • 28) 0,193 019 378 073 6 × 2 = 0 + 0,386 038 756 147 2;
  • 29) 0,386 038 756 147 2 × 2 = 0 + 0,772 077 512 294 4;
  • 30) 0,772 077 512 294 4 × 2 = 1 + 0,544 155 024 588 8;
  • 31) 0,544 155 024 588 8 × 2 = 1 + 0,088 310 049 177 6;
  • 32) 0,088 310 049 177 6 × 2 = 0 + 0,176 620 098 355 2;
  • 33) 0,176 620 098 355 2 × 2 = 0 + 0,353 240 196 710 4;
  • 34) 0,353 240 196 710 4 × 2 = 0 + 0,706 480 393 420 8;
  • 35) 0,706 480 393 420 8 × 2 = 1 + 0,412 960 786 841 6;
  • 36) 0,412 960 786 841 6 × 2 = 0 + 0,825 921 573 683 2;
  • 37) 0,825 921 573 683 2 × 2 = 1 + 0,651 843 147 366 4;
  • 38) 0,651 843 147 366 4 × 2 = 1 + 0,303 686 294 732 8;
  • 39) 0,303 686 294 732 8 × 2 = 0 + 0,607 372 589 465 6;
  • 40) 0,607 372 589 465 6 × 2 = 1 + 0,214 745 178 931 2;
  • 41) 0,214 745 178 931 2 × 2 = 0 + 0,429 490 357 862 4;
  • 42) 0,429 490 357 862 4 × 2 = 0 + 0,858 980 715 724 8;
  • 43) 0,858 980 715 724 8 × 2 = 1 + 0,717 961 431 449 6;
  • 44) 0,717 961 431 449 6 × 2 = 1 + 0,435 922 862 899 2;
  • 45) 0,435 922 862 899 2 × 2 = 0 + 0,871 845 725 798 4;
  • 46) 0,871 845 725 798 4 × 2 = 1 + 0,743 691 451 596 8;
  • 47) 0,743 691 451 596 8 × 2 = 1 + 0,487 382 903 193 6;
  • 48) 0,487 382 903 193 6 × 2 = 0 + 0,974 765 806 387 2;
  • 49) 0,974 765 806 387 2 × 2 = 1 + 0,949 531 612 774 4;
  • 50) 0,949 531 612 774 4 × 2 = 1 + 0,899 063 225 548 8;
  • 51) 0,899 063 225 548 8 × 2 = 1 + 0,798 126 451 097 6;
  • 52) 0,798 126 451 097 6 × 2 = 1 + 0,596 252 902 195 2;
  • 53) 0,596 252 902 195 2 × 2 = 1 + 0,192 505 804 390 4;
  • 54) 0,192 505 804 390 4 × 2 = 0 + 0,385 011 608 780 8;
  • 55) 0,385 011 608 780 8 × 2 = 0 + 0,770 023 217 561 6;
  • 56) 0,770 023 217 561 6 × 2 = 1 + 0,540 046 435 123 2;
  • 57) 0,540 046 435 123 2 × 2 = 1 + 0,080 092 870 246 4;
  • 58) 0,080 092 870 246 4 × 2 = 0 + 0,160 185 740 492 8;
  • 59) 0,160 185 740 492 8 × 2 = 0 + 0,320 371 480 985 6;
  • 60) 0,320 371 480 985 6 × 2 = 0 + 0,640 742 961 971 2;
  • 61) 0,640 742 961 971 2 × 2 = 1 + 0,281 485 923 942 4;
  • 62) 0,281 485 923 942 4 × 2 = 0 + 0,562 971 847 884 8;
  • 63) 0,562 971 847 884 8 × 2 = 1 + 0,125 943 695 769 6;
  • 64) 0,125 943 695 769 6 × 2 = 0 + 0,251 887 391 539 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0110 1111 1001 1000 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 910 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100