-0,000 282 005 913 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 79| = 0,000 282 005 913 79


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 79 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 58;
  • 2) 0,000 564 011 827 58 × 2 = 0 + 0,001 128 023 655 16;
  • 3) 0,001 128 023 655 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 310 32;
  • 4) 0,002 256 047 310 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 620 64;
  • 5) 0,004 512 094 620 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 241 28;
  • 6) 0,009 024 189 241 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 482 56;
  • 7) 0,018 048 378 482 56 × 2 = 0 + 0,036 096 756 965 12;
  • 8) 0,036 096 756 965 12 × 2 = 0 + 0,072 193 513 930 24;
  • 9) 0,072 193 513 930 24 × 2 = 0 + 0,144 387 027 860 48;
  • 10) 0,144 387 027 860 48 × 2 = 0 + 0,288 774 055 720 96;
  • 11) 0,288 774 055 720 96 × 2 = 0 + 0,577 548 111 441 92;
  • 12) 0,577 548 111 441 92 × 2 = 1 + 0,155 096 222 883 84;
  • 13) 0,155 096 222 883 84 × 2 = 0 + 0,310 192 445 767 68;
  • 14) 0,310 192 445 767 68 × 2 = 0 + 0,620 384 891 535 36;
  • 15) 0,620 384 891 535 36 × 2 = 1 + 0,240 769 783 070 72;
  • 16) 0,240 769 783 070 72 × 2 = 0 + 0,481 539 566 141 44;
  • 17) 0,481 539 566 141 44 × 2 = 0 + 0,963 079 132 282 88;
  • 18) 0,963 079 132 282 88 × 2 = 1 + 0,926 158 264 565 76;
  • 19) 0,926 158 264 565 76 × 2 = 1 + 0,852 316 529 131 52;
  • 20) 0,852 316 529 131 52 × 2 = 1 + 0,704 633 058 263 04;
  • 21) 0,704 633 058 263 04 × 2 = 1 + 0,409 266 116 526 08;
  • 22) 0,409 266 116 526 08 × 2 = 0 + 0,818 532 233 052 16;
  • 23) 0,818 532 233 052 16 × 2 = 1 + 0,637 064 466 104 32;
  • 24) 0,637 064 466 104 32 × 2 = 1 + 0,274 128 932 208 64;
  • 25) 0,274 128 932 208 64 × 2 = 0 + 0,548 257 864 417 28;
  • 26) 0,548 257 864 417 28 × 2 = 1 + 0,096 515 728 834 56;
  • 27) 0,096 515 728 834 56 × 2 = 0 + 0,193 031 457 669 12;
  • 28) 0,193 031 457 669 12 × 2 = 0 + 0,386 062 915 338 24;
  • 29) 0,386 062 915 338 24 × 2 = 0 + 0,772 125 830 676 48;
  • 30) 0,772 125 830 676 48 × 2 = 1 + 0,544 251 661 352 96;
  • 31) 0,544 251 661 352 96 × 2 = 1 + 0,088 503 322 705 92;
  • 32) 0,088 503 322 705 92 × 2 = 0 + 0,177 006 645 411 84;
  • 33) 0,177 006 645 411 84 × 2 = 0 + 0,354 013 290 823 68;
  • 34) 0,354 013 290 823 68 × 2 = 0 + 0,708 026 581 647 36;
  • 35) 0,708 026 581 647 36 × 2 = 1 + 0,416 053 163 294 72;
  • 36) 0,416 053 163 294 72 × 2 = 0 + 0,832 106 326 589 44;
  • 37) 0,832 106 326 589 44 × 2 = 1 + 0,664 212 653 178 88;
  • 38) 0,664 212 653 178 88 × 2 = 1 + 0,328 425 306 357 76;
  • 39) 0,328 425 306 357 76 × 2 = 0 + 0,656 850 612 715 52;
  • 40) 0,656 850 612 715 52 × 2 = 1 + 0,313 701 225 431 04;
  • 41) 0,313 701 225 431 04 × 2 = 0 + 0,627 402 450 862 08;
  • 42) 0,627 402 450 862 08 × 2 = 1 + 0,254 804 901 724 16;
  • 43) 0,254 804 901 724 16 × 2 = 0 + 0,509 609 803 448 32;
  • 44) 0,509 609 803 448 32 × 2 = 1 + 0,019 219 606 896 64;
  • 45) 0,019 219 606 896 64 × 2 = 0 + 0,038 439 213 793 28;
  • 46) 0,038 439 213 793 28 × 2 = 0 + 0,076 878 427 586 56;
  • 47) 0,076 878 427 586 56 × 2 = 0 + 0,153 756 855 173 12;
  • 48) 0,153 756 855 173 12 × 2 = 0 + 0,307 513 710 346 24;
  • 49) 0,307 513 710 346 24 × 2 = 0 + 0,615 027 420 692 48;
  • 50) 0,615 027 420 692 48 × 2 = 1 + 0,230 054 841 384 96;
  • 51) 0,230 054 841 384 96 × 2 = 0 + 0,460 109 682 769 92;
  • 52) 0,460 109 682 769 92 × 2 = 0 + 0,920 219 365 539 84;
  • 53) 0,920 219 365 539 84 × 2 = 1 + 0,840 438 731 079 68;
  • 54) 0,840 438 731 079 68 × 2 = 1 + 0,680 877 462 159 36;
  • 55) 0,680 877 462 159 36 × 2 = 1 + 0,361 754 924 318 72;
  • 56) 0,361 754 924 318 72 × 2 = 0 + 0,723 509 848 637 44;
  • 57) 0,723 509 848 637 44 × 2 = 1 + 0,447 019 697 274 88;
  • 58) 0,447 019 697 274 88 × 2 = 0 + 0,894 039 394 549 76;
  • 59) 0,894 039 394 549 76 × 2 = 1 + 0,788 078 789 099 52;
  • 60) 0,788 078 789 099 52 × 2 = 1 + 0,576 157 578 199 04;
  • 61) 0,576 157 578 199 04 × 2 = 1 + 0,152 315 156 398 08;
  • 62) 0,152 315 156 398 08 × 2 = 0 + 0,304 630 312 796 16;
  • 63) 0,304 630 312 796 16 × 2 = 0 + 0,609 260 625 592 32;
  • 64) 0,609 260 625 592 32 × 2 = 1 + 0,218 521 251 184 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 79(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0101 0000 0100 1110 1011 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100